給出$n$個點，求出這$n$個點對應的多項式中代入$k$的結果。

很顯然這個多項式是唯一確定的，因為我們待定係數，然後得到一個$n$元一次方程。解完就得到了係數表示式。

但是我們不需要知道各項係數，只需要知道代入$k$的結果就好了。因此：$$\sum\limits_{0 \leq i < n}y_i \prod\limits_{j \neq i}\dfrac{x-x_j}{x_i-x_j}$$這個多項式的意義非常顯然，當$x$取到給定某一個$x_m$時，除了第$m$項，其他的項中分子一定會有一個$x-x_m$，因此消去了（等於0），只剩下了$y_m\prod\limits_{j \neq m}\dfrac{x-x_j}{x_m-x_j}$。此時將$x_m$代入，分子分母相等，故為1。所以結果就是$y_m$。因此我們確保了將給定的$n$個點代入無誤，所以多項式無誤。