線代複習——第一章 行列式
阿新 • • 發佈:2018-12-02
==※==為重點
&1 二階與三階行列式
- 二階行列式
表示式a11a22 - a12a21 稱作二階行列式並記作圖1
其中a11a22 之間連線稱之為主對角線,a12a21 之間的連線稱之為副對角線
- 三階行列式 ※
對角線法則:三條實線的元素之和,減去三條虛線的元素之和
&2 全排列與對換
- 排列及其逆序數
- 全排列:把N個不同元素排成一列,簡稱排列
- 標準次序:對於N個不同元素,各個元素之間的排列順序(對與自然數,可以規定有大到小為標準次序)
- 逆序:在N個元素的任一排列中,當排列的順序與標準次序不同時,就說他構成一個逆序
- 逆序數: 一個排列過程中的所有排序的總數
- 偶排序:逆序數的個數為偶數
例題:
求排列32514的逆序數
解:
3排在首位,逆序數t1=0;
2的前面比二大的有三,t2=1;
5是最大數,t3=0;
1的前面比一大的有(3,2,5),t4=3;
4的前面比四大的有五,t5=1;
t= ti=0+1+0+3+1=5
- 對換
- 對換: 將任意兩個元素對調,其餘元素不懂,構造的新排序稱之為對換
- 相鄰對換: 相鄰兩個元素對換
定理: 一個排序中的任意兩個元素對換,排序的奇偶改變
推論: 奇排列對換成標準排列的對換次數為奇數,偶排列對換從標準排序的對換次數為偶數
&3 N階行列式
證明:三階行列式
=a11a22a33 + a12a23a32 + a13a21a32 - a11a23a33 - a12a21a33 - a13a22a31
可以看到,第一個下表全為 123
第二個下表:
帶正號的: 123,231,321 (奇排列)1
帶負號的:132,213,321 (偶排列)
所以三階行列式可寫為
所以N階行列式為: (-1)ta1p1a2p2…anpn
記作