概率複習 第一章 基本概念
本文用於複習概率論的相關知識點,因為好久不接觸了,忘了不少。這裡撿起來,方便學習其他知識。
總目錄
本章目錄
事件的運算
交換律
結合律
分配率
摩根定律
概率含義及性質
概率記為P,性質如下:
s是一個必然事件:
可列可加性:
互不相容的事件A1,A2...有:
有限可加性:
互不相容的事件A1,A2...An有:
差事件的概率
若,則
逆事件的概率
概率的加法公式
可以推廣到多個事件的情況,如下:
條件概率
條件概率的計算
P(B|A) 表示在A空間中(A條件下),滿足事件B的部分,所佔的比例
條件概率的可列可加性:
互不相容的事件B1,B2...有:
條件概率的加法公式:
任意事件B1 B2,在條件A下,有:
乘法定理
由條件概率公式,可以有:
當,有:
全概率公式
如右邊這個視訊,講解得很詳細了:全概率公式考研視訊講解
互不相容的事件B1 B2 ... Bn構成一個樣本空間S的劃分(樣本空間S的完備事件集,也就是B1 B2 ... 充滿了樣本空間),
若A是S中的一個事件,則:
也就是A和所有B事件的交集加起來。上面是全概率公式的一種形式。
很好理解,全就是某個事件在一整個劃分上,相交的部分,的總和。
根據乘法公式,可以將全概率公式改為如下變型:
貝葉斯公式
推導過程,也可以參考上面說的這個視訊:全概率公式考研視訊講解
貝葉斯公式,是一個條件概率,指在條件A下,一個劃分中的某個事件Bi的概率:
由條件概率公式展開有:
由於
所以,貝葉斯公式為:
很神奇,它表示在A條件下,事件Bi的概率,可以轉換為,求:
- 在劃分事件B1或B2或...或Bi...或Bn條件下,A事件的概率,即:P(A|B_1),...P(A|B_i),...P(A|B_n),
- 劃分(完備事件集)事件B1 B2 ... Bi ... Bn的概率,即P(B_1),...P(B_i),...P(B_n),
然後把上面求得的概率,組合起來:
- 分子是Bi條件下A的概率乘以Bi的概率
- 分母是A對於劃分B的全概率
這樣就構成了貝葉斯公式了。
實際計算時,可能會用到很多變型,因為涉及到各種變換。所以需要具體情況具體分析。
但記住,貝葉斯公式,本質就是一個條件概率。只是把它轉換成其他計算方式而已。
獨立性
事件相互獨立
如果A和B滿足:
則A和B獨立
事件獨立的定理
定理一:
當P(A)>0,若A和B獨立,則
反之亦然。
對於多個事件,它們的n個組合都獨立,說明這堆事件相互獨立。
定理二:
若A和B獨立,則它們的逆事件的組合也獨立,包括如下組合:
對於n個獨立事件,它們逆事件的任意組合,也是獨立的。