快速傅立葉變換（FFT）（學習筆記）

學習了一波 $FFT$ ，只是淺淺的入門。還有很多前置知識，有一些還不是太瞭解，完了深入學習之後再補部落格 $q w q$

qwq

q w q

以下內容大部分參考秦嶽學長的課件

多項式

形如 $A (x) = \sum_{k}$

= 0 n − 1 a k ×

x k A(x)=\sum_{k=0}^{n-1}a_k\times x^k

A (x) = \sum_{k = 0}^{n - 1} a_{k} \times x^{k}

，其中

a_k

為多項式係數

C(x)=A(x)+B(x)

：

c_k=a_k+b_k

C(x)/A(x)=B(x)

：

c_n=\sum a_k\times b_{n-k}

多項式的表示法：
係數表示式：上面說的
點值表示式：給出 $N+1$ 個不同的 $x$ 代入 $A(x)$ 的點值，這樣的 $N+1$ 個元素構成的集合 $\{(x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn)\}$ ，其中 $y_i$ = $A(x_i)$ ，稱為點值表示法。

唯一性定理：證明可用範德蒙矩陣行列式

係數與點值：
係數表示法的 $n$ 次多項式 $A(x),B(x)$ 可以 $O(n)$ 快速求得 $A(x)+B(x)$ ，但是卷積通常需要 $O(n^2)$ 計算

點值表示法的 $n$ 次多項式卷積也可以 $O(n)$ 計算，只需將值域 $y$ 對應相乘即可 $\{(xi,yi)\}×\{(xi,zi)\}=\{(xi,yi*zi)\}$ (由於 $n$ 項確定次數界為 $n$ 的多項式，故計算卷積是至少保留 $2n$ 項)

實際上點值表示法的卷積計算的是圓周卷積

點值與係數的轉化：
$1.$ 係數表示法 $→$ 點值表示法
樸素計算 $O(n^3)$
秦九韶演算法/霍納法則 $O(n^2)$
$2.$ 點值表示法 $→$ 係數表示法
高斯消元 $O(n^3)$
拉格朗日插值法 $O(n^2)$ ： $A(x)=∑_{0<=k<=n}y_k*Π(j≠k)(x-x_j)/(x_k-x_j)$
(原理:構造求和式當 $x=x_k$ 時只有一項為 $y_k$ ，其餘全為 $0$ )

(霍納法則不會 $qwq$ ，等以後補

而 $FFT$ 可以在 $O(nlogn)$ 時間內求出多項式卷積

複數

單位複數 $i=sqrt(-1)$ ，複數表示為 $(a+b\times i)$ 的形式，運算和實數類似。
其實複數就相當於向量，複數的計算可以用向量計算來解決

struct complex{
    double x,y;
    complex(double xx=0,double yy=0) {x=xx,y=yy;}
}a[maxn],b[maxn];
complex operator +(complex a,complex b) {return complex(a.x+b.x,a.y+b.y);}
complex operator -(complex a,complex b) {return complex(a.x-b.x,a.y-b.y);}
complex operator  
 
              
           
              
              
            
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    並行快速傅立葉變換 mpi4py-fft
      
							
							
							
在上一篇中我們介紹了一個使用 mpi4py 實現的並行日誌工具 —— python-mpi-logger，下面將介紹一個並行的快速傅立葉變換庫 —— mpi4py-fft。
快速傅立葉變換（FFT）簡介
快速傅立葉變換（Fast Fourier Transfo 

  
 

    

    
    快速傅立葉變換（FFT）及其應用
      有一個   swap   max   read   mes   turn   scan   原本   color   在信息學競賽中FFT只有一個用處那就是加速多項式的乘法
多項式乘法原本的時間復雜度是O（n^2）的，然後經過FFT之後可以優化為O（nlogn）
FFT就是將系數表示法轉化成點值表示法相乘，再 

  
 

    

    
    離散傅立葉變換（DFT）和快速傅立葉變換（FFT）原理與實現
       
  
  
 目錄 
  
 1、影象變換 2、離散傅立葉變換（Discrete Fourier Transform） 3、DFT性質 4、DFT與數字影象處理 5、FFT-快速傅立葉變換 6、DFT與FFT的演算法實現 
  
 1. 影象變換 
 — —數學領域中有很多種變換，如傅立葉變換、拉普拉斯變 

  
 

    

    
    快速傅立葉變換FFT（模板）
       
  
  
 轉載出處 https://blog.csdn.net/f_zyj/article/details/76037583 摘自大佬的部落格 FFT（最詳細最通俗的入門手冊） 
 const double PI=acos(-1.0);

//  複數結構體
struct Complex {
	dou 

  
 

    

    
    FFT（快速傅立葉變換）
      - 概念引入 
 　　- 點值表示 　　　　對於一個$n - 1$次多項式$A(x)$，可以通過確定$n$個點與值（即$x$和$y$）來表示這唯一的$A(x)$ 
 　　- 複數 　　　　對於一元二次方程 　　　　$$x^2 + 1 = 0$$ 　　　　在實數範圍內無解，那麼我們將實數範圍擴充，就得到了複數， 

  
 

    

    
    【知識總結】快速傅立葉變換（FFT）
      這可能是我第五次學FFT了……菜哭qwq 
先給出一些個人認為非常優秀的參考資料： 
一小時學會快速傅立葉變換（Fast Fourier Transform） - 知乎 
小學生都能看懂的FFT！！！ - 胡小兔 - 部落格園 
快速傅立葉變換（FFT）用於計算兩個\(n\)次多項式相乘，能把複雜度從樸素的\ 

  
 

    

    
    基於python的快速傅立葉變換FFT（二）
      基於python的快速傅立葉變換FFT（二）本文在上一篇部落格的基礎上進一步探究正弦函式及其FFT變換。 
知識點  FFT變換，其實就是快速離散傅立葉變換，傅立葉變換是數字訊號處理領域一種很重要的演算法。要知道傅立葉變換演算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。傅立葉原理表明：任何連續測量的時序或訊號，都可 

  
 

    

    
    5.6.1 快速傅立葉變換（FFT+RFFT）
       
 
 
 1.影象頻域處理的意義        在影象處理和分析中，經常會將影象從影象空間轉換到其他空間中，並利用這些空間的特點進行對轉換後圖像進行分析處理，然後再將處理後的影象轉換到影象空間中，這稱之為影象變換。 在一些影象處理和分析中通過空間變換往往會取得更有效 

  
 

    

    
    快速傅立葉變換（FFT）（學習筆記）
       
 
  
  
 學習了一波
     
      
       
        
         F
        
        
         F
        
        
         T
        
       
       
        FFT
   

  
 

    

    
    快速傅立葉變換（Fast-Fourier Transform,FFT）
      數學定義： 
（詳細參考：https://www.baidu.com/link?url=oYAuG2o-pia_U3DlF5n_MJZyE5YKfaVRUHTTDbM1FwM_kDTjGCxKpw_PbOK70jE2geVioprSVyPTTQuLwN-IhMH8NREmWSDnmcfQEY8w0kq& 

  
 

    

    
    【演算法】快速傅立葉變換（FFT）的遞迴實現
      
                FFT是數字訊號處理中的重要演算法，在matlab中可以直接呼叫fft()函式，本文是C++版的FFT演算法，用遞迴方式進行實現。

//==================================
//Signal_Process_FFT_v1.cpp
//==== 

  
 

    

    
    11.頻域裡的卷積——介紹，傅立葉變換和卷積，快速傅立葉變換（FFT）_1
      
                目錄

介紹



FFT

介紹

我們將繼續討論頻率分析以及如何用頻率分量的概念來研究影象。如果你還記得上次我們講過的基於頻率的影象分解的概念。我們通過給你們看這張照片來回憶它（如圖）。這是著名的Dali圖片，當你在那裡允許高頻影象時，你會看到一個女人在欣賞地中海之類的東 

  
 

    

    
    我所理解的快速傅立葉變換（FFT）
       
  
  
 轉載自：https://blog.csdn.net/shenziheng1/article/details/52891807 
 1.歷史放在最前頭 
  
   
    
     首先FFT是離散傅立葉變換(DFT)的快速演算法，那麼說到FFT，我們自然要先講清楚傅立葉變換。先來看看傅 

  
 

    

    
    快速傅立葉變換（FFT）學習
       
 
  
  
 首先，在寫這篇部落格之前，我還沒有完全學會FFT。 先把會的部分打好，加深一下記憶（也可以說是做筆記吧）。 初三了，還不會FFT，要退役嘍…… 
  
 多項式乘法 
 點開這篇部落格之前，你就應該知道，FFT是用來求多項式乘法的。 什麼是多項式，什麼是多項式乘法？ 不講。初一內容。 如 

  
 

    

    
    卷積和快速傅立葉變換（FFT）的實現
      
							
							
							卷積運算

卷積可以說是影象處理中最基本的操作。線性濾波通過不同的卷積核，可以產生很多不同的效果。假如有一個要處理的二維影象，通過二維的濾波矩陣（卷積核），對於影象的每一個畫素點，計算它的領域畫素和濾波器矩陣的對應元素的乘積，然後累加，作為該畫素位置的值。關於影 

  
 

    

    
    快速傅立葉變換（FFT）（筆記）
       
 
 今天看了一下午FFT，總算看懂了。怕以後忘記，留個圖片。 
 首先以下圖片來自 
 https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8244902.html?mType=Group 
 https://www.cnblogs.com/wangyh1008/p/9325715.ht 

  
 

    

    
    影象處理 之 一維快速傅立葉變換（FFT）
      
								
								            
						
                # -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Sun Jul  8 21:05:51 2018

@author: Diko
"""

import numpy

def 

  
 

    

    
    【模板】快速傅立葉變換（FFT）（BZOJ2179）
      Description 
 給出兩個n位10進位制整數x和y，你需要計算x*y。  
Input 
 第一行一個正整數n。 第二行描述一個位數為n的正整數x。 第三行描述一個位數為n的正整數y。  
Output 
 輸出一行，即x*y的結果。  
Code 
#include<cstdio>
# 

  
 

    

    
    基於Unity的FFT快速傅立葉變換的頻譜解析的研究_預處理音訊分析（2）
      
                Unity中的演算法節拍對映：預處理音訊分析

如果您還沒有閱讀本系列中的上一篇文章“關於FFT的音訊解析的研究_實時取樣解析音訊（1）”，使用Unity API進行實時音訊分析，請在閱讀之前花些時間這樣做。 它涵蓋了執行預處理分析所需的許多核心概念。

在進行實時分析時，我 

  
 

    

    
    快速傅立葉變換（FFT）和數論變換（NTT）模板
      
                
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define dob complex<double>
const int N=120010;
const double pi=acos(-1.0);
usin