快速傅立葉變換(FFT)及其應用
阿新 • • 發佈:2018-09-02
有一個 swap max read mes turn scan 原本 color
在信息學競賽中FFT只有一個用處那就是加速多項式的乘法
多項式乘法原本的時間復雜度是O(n^2)的,然後經過FFT之後可以優化為O(nlogn)
FFT就是將系數表示法轉化成點值表示法相乘,再由點值表示法轉化為系數表示法的過程
一個典型的例題是BZOJ2194,求卷積?
1 #include<complex> 2 #include<cmath> 3 #include<cstdio> 4 #define pi acos(-1) 5 using namespace std; 6 const int maxn=131072; 7 int n,m,L;8 int R[maxn]; 9 complex<double> a[maxn],b[maxn]; 10 int read() 11 { 12 int x=0,f=1;char ch=getchar(); 13 while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();} 14 while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();} 15 return x*f; 16 } 17 void fft(complex<double> *a,int f) 18 { 19 for(int i=0;i<n;i++) if(i<R[i]) swap(a[i],a[R[i]]); 20 for(int i=1;i<n;i<<=1) 21 { 22 complex<double> wn(cos(pi/i),f*sin(pi/i)); 23 for(int j=0;j<n;j+=(i<<1)) 24 { 25 complex<double> w(1,0); 26 for(int k=0;k<i;k++,w*=wn) 27 { 28 complex<double> x=a[j+k],y=w*a[j+k+i]; 29 a[j+k]=x+y;a[j+k+i]=x-y; 30 } 31 } 32 } 33 if(f==-1) for(int i=0;i<n;i++) a[i]/=n; 34 } 35 int main() 36 { 37 scanf("%d",&n); 38 n--; 39 for(int i=0;i<=n;i++) 40 { 41 a[i]=read(); 42 b[n-i]=read(); 43 } 44 m=2*n; 45 for(n=1;n<=m;n<<=1) L++; 46 for(int i=0;i<n;i++) R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1)); 47 fft(a,1);fft(b,1); 48 for(int i=0;i<=n;i++) a[i]*=b[i]; 49 fft(a,-1); 50 for(int i=m/2;i<=m;i++) printf("%d\n",(int)(a[i].real()+0.1)); 51 return 0; 52 }
現在我所知道的就是FFT和多項式、復數和單位根有關系
別的等日後再補吧。。
快速傅立葉變換(FFT)及其應用