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1.歷史放在最前頭

首先FFT是離散傅立葉變換(DFT)的快速演算法，那麼說到FFT，我們自然要先講清楚傅立葉變換。先來看看傅立葉變換是從哪裡來的？

傅立葉是一位法國數學家和物理學家的名字，英語原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier對熱傳遞很感興趣，於1807年在法國科學學會上發表了一篇論文，運用正弦曲線來描述溫度分佈，論文裡有個在當時頗具爭議性的命題：任何連續週期訊號可以由一組適當的正弦曲線組合而成。當時審查這個論文的人，其中有兩位是歷史上著名的數學家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de
Laplace, 1749-1827)，當拉普拉斯和其他審查者投票通過並要發表這個論文時，拉格朗日堅決反對，在近50年的時間裡，拉格朗日堅持認為傅立葉的方法無法表示帶有稜角的訊號，如在方波中出現非連續變化斜率。法國科學學會屈服於拉格朗日的權威，拒絕了傅立葉的工作，幸運的是，傅立葉還有其它事情可忙，他參加了政治運動，隨拿破崙遠征埃及，法國大革命後因為怕被推上斷頭臺而一直在逃難。直到拉格朗日死後15年這個論文才被髮表出來。

誰是對的呢？拉格朗日是對的：正弦曲線無法組合成一個帶有稜角的訊號。但是，我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基於此，傅立葉是對的。

2.傅立葉變換的意義：

為什麼我們要用正弦曲線來代替原來的曲線呢？如果我們也還可以用方波或三角波來代替，分解訊號的方法是無窮的，但分解訊號的目的是為了更加簡單地處理原來的訊號。用正餘弦來表示原訊號會更加簡單，因為正餘弦擁有其他訊號所不具備的性質：正弦曲線保真度。一個正弦曲線訊號輸入後，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的，且只有正弦曲線才擁有這樣的性質，正因如此我們才不用方波或三角波來表示。

傅立葉變換的物理意義在哪裡？

傅立葉原理表明：任何連續測量的時序或訊號，都可以表示為不同頻率的正弦波訊號的無限疊加。而根據該原理創立的傅立葉變換演算法利用直接測量到的原始訊號，以累加方式來計算該訊號中不同正弦波訊號的頻率、振幅和相位。當然這是從數學的角度去看傅立葉變換。

那麼從物理的角度去看待傅立葉變換，它其實是幫助我們改變傳統的時間域分析訊號的方法轉到從頻率域分析問題的思維，下面的一幅立體圖形可以幫助我們更好得理解這種角度的轉換：

所以，最前面的時域訊號在經過傅立葉變換的分解之後，變為了不同正弦波訊號的疊加，我們再去分析這些正弦波的頻率，可以將一個訊號變換到頻域。有些訊號在時域上是很難看出什麼特徵的，但是如果變換到頻域之後，就很容易看出特徵了

。這就是很多訊號分析採用FFT變換的原因。另外，FFT可以將一個訊號的頻譜提取出來，這在頻譜分析方面也是經常用的。

傅立葉變換提供給我們這種換一個角度看問題的工具，看問題的角度不同了，問題也許就迎刃而解！

3.FFT是怎麼樣完成的？

首先，按照被變換的輸入訊號型別不同，傅立葉變換可以分為 4種類型：
1、 非週期性連續訊號傅立葉變換（Fourier Transform）
2、 週期性連續訊號傅立葉級數(Fourier Series)
3、 非週期性離散訊號離散時域傅立葉變換（Discrete Time Fourier Transform）
4、 週期性離散訊號離散傅立葉變換(Discrete Fourier Transform)

下面是四種原訊號圖例：

這裡我們要討論是離散訊號，對於連續訊號我們不作討論，因為計算機只能處理離散的數值訊號，我們的最終目的是運用計算機來處理訊號的。所以對於離散訊號的變換隻有離散傅立葉變換（DFT）才能被適用，對於計算機來說只有離散的和有限長度的資料才能被處理，對於其它的變換型別只有在數學演算中才能用到，在計算機面前我們只能用DFT方法，我們要討論的FFT也只不過是DFT的一種快速的演算法。

DFT的運算過程是這樣的：

 可見，在計算機上進行的DFT，使用的輸入值是數字示波器經過ADC後採集到的取樣值，也就是時域的訊號值，輸入取樣點的數量決定了轉換的計算規模。變換後的頻譜輸出包含同樣數量的取樣點，但是其中有一半的值是冗餘的，通常不會顯示在頻譜中，所以真正有用的資訊是N/2+1個點。

FFT的過程大大簡化了在計算機中進行DFT的過程，簡單來說，如果原來計算DFT的複雜度是N*N次運算（N代表輸入取樣點的數量），進行FFT的運算複雜度是N*lg10(N)，因此，計算一個1,000取樣點的DFT，使用FFT演算法只需要計算3,000次，而常規的DFT演算法需要計算1,000,000次！

典型的時域2分裂演算法圖示如下：

4.變換前後訊號的對應關係

以一個實際的訊號為例來說明：

示波器取樣得到的數字訊號，就可以做FFT變換了。N個取樣點，經過FFT之後，就可以得到N個點的FFT結果。為了方便進行FFT運算，通常N取2的整數次方。

假設取樣頻率為Fs，訊號頻率F，取樣點數為N。那麼FFT之後結果就是一個為N點的複數。每一個點就對應著一個頻率點。這個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始訊號的幅度有什麼關係呢？

假設原始訊號的峰值為A，那麼FFT的結果的每個點（除了第一個點直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一個點就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每個點的相位呢，就是在該頻率下的訊號的相位。第一個點表示直流分量（即0Hz），而最後一個點N的再下一個點（實際上這個點是不存在的，這裡是假設的第N+1個點，也可以看做是將第一個點分做兩半分，另一半移到最後）則表示取樣頻率Fs，這中間被N-1個點平均分成N等份，每個點的頻率依次增加。例如某點n所表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到頻率為為Fs/N，如果取樣頻率Fs為1024Hz，取樣點數為1024點，則可以分辨到1Hz。1024Hz的取樣率取樣1024點，剛好是1秒，也就是說，取樣1秒時間的訊號並做FFT，則結果可以分析精確到1Hz，如果取樣2秒時間的訊號並做FFT，則結果可以分析精確到0.5Hz。如果要提高頻率解析度，則必須增加取樣點數，也即取樣時間。頻率解析度和取樣時間是倒數關係。

下面這幅圖更能夠清晰地表示這種對應關係：

 變換之後的頻譜的寬度（Frequency Span）與原始訊號也存在一定的對應關係。根據Nyquist取樣定理，FFT之後的頻譜寬度（Frequency Span）最大隻能是原始訊號取樣率的1/2，如果原始訊號取樣率是4GS/s，那麼FFT之後的頻寬最多隻能是2GHz。時域訊號取樣週期（Sample Period）的倒數，即取樣率（Sample Rate）乘上一個固定的係數即是變換之後頻譜的寬度，即 Frequency Span = K*（1/ΔT），其中ΔT為取樣週期，K值取決於我們在進行FFT之前是否對原始訊號進行降取樣（抽點），因為這樣可以降低FFT的運算量。如下圖所示：

  可見，更高的頻譜解析度要求有更長的取樣時間，更寬的頻譜分佈需要提高對於原始訊號的取樣率，當然我們希望頻譜更寬，解析度更精確，那麼示波器的長儲存就是必要的！它能提供您在高取樣率下采集更長時間訊號的能力！

5.幾種典型周期函式的頻譜圖

頻譜洩露：

        所謂頻譜洩露，就是訊號頻譜中各譜線之間相互干擾，使測量的結果偏離實際值，同時在真實譜線的兩側的其它頻率點上出現一些幅值較小的假譜。產生頻譜洩露的主要原因是取樣頻率和原始訊號頻率不同步，造成周期的取樣訊號的相位在始端和終端不連續。簡單來說就是因為計算機的FFT運算能力有限，只能處理有限點數的FFT，所以在擷取時域的週期訊號時，沒有能夠擷取整數倍的週期。訊號分析時不可能取無限大的樣本。只要有截斷不同步就會有洩露。如下圖所示：

上圖的訊號頻率為2.1MHz，採集時間內沒有擷取整數倍週期的訊號，FFT運算之後譜線的洩露現象嚴重，可以看到能量較低的譜線很容易被臨近的能量較高的譜線的洩露給淹沒住。

因此，避免頻譜洩露的方法除了儘量使採集速率與訊號頻率同步之外，還可以採用適當的窗函式。

 不同的窗函式對頻譜譜線的影響不同，基本形狀可以參看下圖：

可以看到，不同的窗函式的主瓣寬度和旁瓣的衰減速度都不一樣，所以對於不同訊號的頻譜應該使用適當的窗函式進行處理。

矩形窗(Rectangular)：加矩形窗等於不加窗，因為在擷取時域訊號時本身就是採用矩形擷取，所以矩形窗適用於瞬態變化的訊號，只要採集的時間足夠長，訊號寬度基本可以覆蓋整個有效的瞬態部分。

漢寧窗(Von Hann)：如果測試訊號有多個頻率分量，頻譜表現的十分複雜，且測試的目的更多關注頻率點而非能量的大小。在這種情況下，需要選擇一個主瓣夠窄的窗函式，漢寧窗是一個很好的選擇。

flattop窗：如果測試的目的更多的關注某週期訊號頻率點的能量值，比如，更關心其EUpeak,EUpeak-peak,EUrms，那麼其幅度的準確性則更加的重要，可以選擇一個主瓣稍寬的窗，flattop窗在這樣的情況下經常被使用。

6.總結

FFT是離散傅立葉變換的快速演算法，可以將一個訊號變換到頻域。有些訊號在時域上是很難看出什麼特徵的，但是如果變換到頻域之後，就很容易看出特徵了。這就是很多訊號分析採用FFT變換的原因。另外，FFT可以將一個訊號的頻譜提取出來，這在頻譜分析方面也是經常用的。

雖然很多人都知道FFT是什麼，可以用來做什麼，怎麼去做，但是卻不知道FFT之後的結果是什意思、如何決定要使用多少點來做FFT。

現在我就根據實際經驗來說說FFT結果的具體物理意義。一個模擬訊號，經過ADC取樣之後，就變成了數字訊號。取樣定理告訴我們，取樣頻率要大於訊號最高頻率的兩倍，這些我就不在此羅嗦了。

取樣得到的數字訊號，就可以做FFT變換了。N個取樣點，經過FFT之後，就可以得到N個點的FFT結果。為了方便進行FFT運算，通常N取2的整數次方（參見FFT原理）。FFT運算量：Nlog2N（2為對數的底）

假設取樣頻率為Fs，訊號頻率F，取樣點數為N。那麼FFT之後結果就是一個為N點的複數。每一個點就對應著一個頻率點。這個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始訊號的幅度有什麼關係呢？假設原始訊號的峰值為A，那麼FFT的結果的每個點（除了第一個點直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一個點就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每個點的相位呢，就是在該頻率下的訊號的相位。第一個點表示直流分量（即0Hz），而最後一個點N的再下一個點（實際上這個點是不存在的，這裡是假設的第N+1個點，也可以看做是將第一個點分做兩半分，另一半移到最後）則表示取樣頻率Fs，這中間被N-1個點平均分成N等份，每個點的頻率依次增加。例如某點n所表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到頻率F0=Fs/N。假設頻率解析度F0=Fs/N限定,取樣頻率Fs也給定，也已知訊號最高頻率Fh，那麼由取樣定理：Fs》=2Fh得到：N=Fs/F0>=2Fh/F0,即取樣點必須滿足這樣一個關係式。  

如果取樣頻率Fs為1024Hz，取樣點數為1024點，則可以分辨到1Hz。1024Hz的取樣率取樣1024點，剛好是1秒，也就是說，取樣1秒時間的訊號並做FFT，則結果可以分析到1Hz，如果取樣2秒時間的訊號並做FFT，相應的取樣點也為原來2倍，則結果可以分析到0.5Hz。如果要提高頻率分辨力，則必須增加取樣點數，也即延長取樣時間，所以頻率解析度和取樣時間是倒數關係，就是說，要想分辨出頻率間隔越小的頻率（頻率解析度越高），取樣時間越長越好。