4558: [JLoi2016]方

https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4558

分析：

　　容斥原理+各種神奇的計數。

　　如果每個刪除點的話，直接計算就好了。

統計出所有的豎直放置的正方形，然後每個正方形裏包含其邊長個數正方形。

設外邊的正方形邊長為a，公式就是$(n - a + 1) \times (m - a + 1) * a$，所以可以O(n)求出。

考慮減不合法的正方形。那麽分為包含一個“壞點”，2個，3個，4個。

234的時候都可以直接枚舉兩個點，然後就可以確定出其他的兩個點了。1個的最難算。

我們把一個點面向的四個方向分開計算，因為這是一個一樣的過程。

可以知道，如果確定了一個點，和一個正方形（這個點在正方形的邊上），那麽就會確定唯一的一個以這個點為頂點的正方形

那麽我們只需要計算有多少個正方形的邊上有這個點就行了，

如果沒有左邊和右邊的限制的話：

加上邊界h的限制，正方形的邊長最大為h。加上左右邊界的限制，正方形的最大邊長為$min(l+r,h)$，設為$z$。

如果我們這樣算出來，顯然是有不合法的，左邊界超出了，或者右邊界超出了。

於是根據等差序列求和公式，可以直接算了。

還有一點，計算這些正方形的時候，超四個方向的和加起來，會重復計算一部分。

最後根據容斥原理，算出來就行了。

代碼：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cstring>
 4 #include<iostream>
 5 #include<cmath>
 6 #include<cctype>
 7 #include<set>
 8 #include<queue>
 9 #include<vector>
10 #include<map>
11 using
 
 namespace std;
12 typedef long long LL;
13 
14 inline int read() {
15     int x=0,f=1;char ch=getchar();for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch==‘-‘)f=-1;
16     for(;isdigit(ch);ch=getchar())x=x*10+ch-‘0‘;return x*f;
17 }
18 
19 const int N = 2005;
20 const int mod = 1e8 + 7;
21 
22 struct Point{
23     int x, y;
24     Point() {}
25     Point(int _x,int _y) { x = _x, y = _y; }
26 }A[N];
27 int n, m;
28 LL ans, t1, t2, t3, t4;
29 set<LL> s;
30 
31 LL Count1(int l,int r,int h) {
32     int z = min(l + r, h);
33     if (z == 0) return 0;
34     LL ans = 1ll * z * (z + 3) / 2;
35     if (z > l) ans -= 1ll * (z - l) * (z - l + 1) / 2;
36     if (z > r) ans -= 1ll * (z - r) * (z - r + 1) / 2;
37     return (ans + mod) % mod;
38 }
39 LL Calc1(int x,int y) { // 統計一個點可以作為多少個正方形的頂點。 
40     int u = x, d = n - x, l = y, r = m - y;
41     LL ans = Count1(l, r, u) + Count1(l, r, d) + Count1(u, d, l) + Count1(u, d, r); ans %= mod;
42     ans = ans - min(u, l) - min(u, r) - min(d, l) - min(d, r);
43     return (ans + mod) % mod;
44 }
45 bool inmap(Point P) {
46     return (P.x >= 0 && P.x <= n && P.y >= 0 && P.y <= m);
47 }
48 void Calc234(Point P,Point Q) {
49     if (!inmap(P) || !inmap(Q)) return ;
50     int t = s.count(1ll * P.x * (m + 1) + P.y) + s.count(1ll * Q.x * (m + 1) + Q.y);
51     ++ t2;
52     if (t >= 1) t3 ++;
53     if (t >= 2) t3 ++, t4 ++;
54 }
55 int main() {
56     n = read(), m = read();int k = read();
57     for (int i = 1; i <= k; ++i) {
58         A[i].x = read(), A[i].y = read();
59         s.insert(1ll * A[i].x * (m + 1) + A[i].y); // 因為列是從0開始編號的，所以需要乘以(m+1)，或者直接乘以2000000 
60     }
61     for (int i = 1, lim = min(n, m); i <= lim; ++i) {
62         ans += (1ll * (n - i + 1) * (m - i + 1) % mod * i % mod);
63         if (ans >= mod) ans -= mod;
64     }
65     for (int i = 1; i <= k; ++i) {
66         t1 += Calc1(A[i].x, A[i].y);
67         if (t1 >= mod ) t1 -= mod;
68     }
69     for (int i = 1; i <= k; ++i) {
70         Point P = A[i];
71         for (int j = i + 1; j <= k; ++j) {
72             Point Q = A[j];
73             int dx = A[i].x - A[j].x, dy = A[i].y - A[j].y;
74             Calc234(Point(P.x + dy, P.y - dx), Point(Q.x + dy, Q.y - dx)); // 作為邊的情況 
75             Calc234(Point(P.x - dy, P.y + dx), Point(Q.x - dy, Q.y + dx));
76             if ((abs(dx) + abs(dy)) & 1) continue;
77             int dx2 = (dx - dy) / 2, dy2 = (dx + dy) / 2;
78             Calc234(Point(P.x - dx2, P.y - dy2), Point(Q.x + dx2, Q.y + dy2)); // 作為對角線的情況 
79         }
80     }
81     ans = ans - t1 + t2 - t3 / 3 + t4 / 6;
82     ans = (ans + mod) % mod;
83     cout << ans;
84     return 0;
85 }

4558: [JLoi2016]方