迭代法

迭代法（Iteration）是一種不斷用變數的舊值遞推出新值的解決問題的方法。迭代演算法是用計算機解決問題的一種基本方法，一般用於數值計算。累加、累乘都是迭代演算法的基礎應用。典型案例：牛頓迭代法”。

步驟：

• 確定迭代模型：分析得出前一個（或幾個）值與其下一個值的迭代關係數學模型；
• 建立迭代關係式
• 對迭代過程進行控制

經典案例：

示例： 斐波那契數列：1、1、2、3、5、8、13、21、34

function fibonacci(n) {
	let a = 1, b = 1, c = 1
    for(let i = 2;
 
 i <= n; i++) {
        c = a + b
        a = b
        b = c
    }  
    return c
}

對於斐波那契數列，當n趨於無窮時，數列最後的兩項的商 (x_n-1/x_n) 趨於黃金分割數0.618

示例： 最大公約數，採用輾轉相除法（歐幾里得演算法）

定理：兩個整數的最大公約數等於其中較小的那個數，和兩數相除餘數的最大公約數。

gcd(a, b) = gcd(a, a mod b)

function gcd (a, b) {
	if (a < b) {
        [a, b]
 
 = [b, a]
    }
	let temp
	while (b > 0) {
		temp = a % b
		a = b
		b = temp
	}
	return a
}

示例： 牛頓迭代法

一種在實數域和複數域上近似求解方程的方法，其比一般的迭代法有更高的收斂速度。

首先，選擇一個接近函式 f(x) 零點的點，如圖為 $ (x_n, f(x_n)) $ ，計算相應的切線斜率 $ {f^{’}(x_n)} $ ，$ k = tan\alpha = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ 得到如下方式
$y$

$\mathbb{x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f^{'}(x_n)}}$
例： 求 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ 方程的根，係數分別是1，2，3，4。求x在1附件的一個實根。

function f(a, b, c, d) {
	let x0, x1 = 1, f0, f1
	do {
		x0 = x1
		f0 = a * Math.pow(x0, 3) + b * Math.pow(x0, 2) + c * x0 + d
		// 求導後函式
		f1 = 3 * a * Math.pow(x0, 2) + 2 * b * x0 + c
		x1 = x0 - f0/f1
	} while (Math.abs(x1 - x0) >= Math.pow(Math.E, -4)) 
	return x1
}

例：求根號x的近似值
$x^2 = n\\ x^2 - n = 0\\ f(x) = x^2 - n$
我想求根號2等於多少，我猜測值為4，根據牛頓迭代定律： x_{n+1} = x - \frac{x^2 - n}{2x} = \frac{1}{2}(x + \frac{n}{x})
$\frac{1}{2}(4 + \frac{2}{4}) = 2.25\\ \frac{1}{2}(2.25 + \frac{2}{2.25}) = 1.56944\\ \frac{1}{2}(1.56944 + \frac{2}{1.56944}) = 1.42189\\ \frac{1}{2}(1.42189 + \frac{2}{1.42189}) = 1.41423$

function mySqrt (num) {
    let x0, x1 = 4, f0, f1
    do {
      	x0 = x1
		f0 = Math.pow(x0, 2) - num
		// 求導後函式
		f1 = 2 * x0
		x1 = x0 - f0/f1  
    } while (Math.abs(x1 - x0) >= Math.pow(Math.E, -4)) 
    return x1
}

引深：

物體直線運動時，路程 s 與時間 t 的函式關係為 $s = f(t)$ ，且 $f(t)$ 在 $t = t_0$ 時的導數 $f'(t_0)$ 存在；則在物理上， $f'(t_0)$ 表示物體在時刻 $ t_0$ 的瞬時速度 $v{(t)}$，而 $v'{(t)}$ 為加速度，即時間 $f’'(t)$ 為加速度！