K Best POJ - 3111 (牛頓迭代法)
阿新 • • 發佈:2018-10-31
題意:有n個物品的重量和價值分別是wi和vi。從中選出k個物品使得單位重量的價值最大。
題解:先取前k個元素算出S0 =∑(vi/wi) 作為初始值,然後對每一個元素(n個)求yi=vi-s0*wi,對yi從大到小排序,取前k個元素算出S,重複上面的運算(每次迴圈後把S的值賦給S0,然後新一輪迴圈時S有通過S0計算出來),直到fabs(S-S0)<=eps,滿足精度要求。
正確性證明:
證明其正確性,只要證明每次迭代的S都比上一次的大即可,也即迭代過程中S是單調遞增的,因為給定的是有限集,故可以肯定,S必存在最大值,即該迭代過程是收斂的。下面證明單調性:
假設上輪得到的S1,則在n個元素中必存在k個元素使S1=∑(vi/wi),變形可得到∑vi-S1*∑wi=0,現對每個元素求yi=vi-S1*wi,可知必存在k個元素使∑yi=∑vi-s1*∑wi=0, 所以當我們按y排序並取前k個元素作為求其∑y時,其∑y>=0,然後對和式變形即可得到S1=((∑v-∑y)/∑w)<=(∑v/∑w)=s2,即此迭代過程是∑y是收斂的,當等號成立時,此S即為最大值。
附上程式碼:
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; const int maxn=1e5+50; const double eps=1e-8; int n,k; struct node{ double val; int v,w; int id; }; node nodes[maxn]; bool cmp(node a,node b) { return a.val>b.val; } double get() { double sumv=0,sumw=0; for(int i=0;i<k;i++){ sumv+=nodes[i].v; sumw+=nodes[i].w; } return sumv/sumw; } int main() { scanf("%d%d",&n,&k); for(int i=0;i<n;i++){ scanf("%d%d",&nodes[i].v,&nodes[i].w); nodes[i].id=i+1; } double s1,s2=get(); do{ s1=s2; for(int i=0;i<n;i++){ nodes[i].val=nodes[i].v-s1*nodes[i].w; } sort(nodes,nodes+n,cmp); s2=get(); }while(fabs(s2-s1)>=eps); printf("%d",nodes[0].id); for(int i=1;i<k;i++){ printf(" %d",nodes[i].id); } printf("\n"); return 0; }