題目描述

一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級……它也可以跳上n級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法。
關於本題，前提是n個臺階會有一次n階的跳法。分析如下:

思路

f(1) = 1
f(2) = f(2-1) + f(2-2) //f(2-2) 表示2階一次跳2階的次數。
f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3)
…
f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + … + f(n-(n-1)) + f(n-n)

說明：

1. 這裡的f(n) 代表的是n個臺階有一次1,2,…n階的 跳法數。

2. n = 1時，只有1種跳法，f(1) = 1

3. n = 2時，會有兩個跳得方式，一次1階或者2階，這回歸到了問題（1） ，f(2) = f(2-1) + f(2-2)

4. n = 3時，會有三種跳得方式，1階、2階、3階，
   那麼就是第一次跳出1階後面剩下：f(3-1);第一次跳出2階，剩下f(3-2)；第一次3階，那麼剩下f(3-3)
   因此結論是f(3) = f(3-1)+f(3-2)+f(3-3)

5. n = n時，會有n中跳的方式，1階、2階…n階，得出結論：
   f(n) = f(n-1)+f(n-2)+…+f(n-(n-1)) + f(n-n) => f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-1)

6. 由以上已經是一種結論，但是為了簡單，我們可以繼續簡化：
   f(n-1) = f(0) + f(1)+f(2)+f(3) + … + f((n-1)-1) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-2)
   f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-2) + f(n-1) = f(n-1) + f(n-1)
   可以得出：
   f(n) = 2*f(n-1)

7. 得出最終結論,在n階臺階，一次有1、2、…n階的跳的方式時，總得跳法為：

       | 1, (n=1)
f(n) = | 
       | 2
 
*f(n-1),(n>=2,n為整數)

程式碼：

public class Solution09 {

    public int JumpFloorII(int target) {
        if (target <= 0) {
            return 0;
        } else if (target == 1) {
            return 1;
        } else {
            return 2 * JumpFloorII(target - 1);
        }
    }
    public static void main(String[] args) {
        Solution09 solu=new Solution09();
        System.out.printf("%d",solu.JumpFloorII(4));
    }
    
}

還有一種簡單的實現方式，2^(n-1)可以用位移操作進行，更快。

public class Solution09 {
    public int JumpFloorII(int target) {
        int a=1; 
        return a<<(target-1);
    }
    public static void main(String[] args) {
        Solution09 solu=new Solution09();
        System.out.printf("%d",solu.JumpFloorII(23));
    }
}