題目描述

現有一個n 行m 列的棋盤，一隻馬欲從棋盤的左上角跳到右下角。每一步它向右跳奇數列，且跳到本行或相鄰行。跳越期間，馬不能離開棋盤。試求跳法種數mod 30011。

輸入輸出格式

輸入格式：

僅有一行，包含兩個正整數n, m，表示棋盤的規模。

輸出格式：

僅有一行，包含一個整數，即跳法種數mod 30011。

輸入輸出樣例

輸入樣例#1：

3 5

輸出樣例#1：

10

說明

對於10%的資料，1 ≤ n ≤ 10，2 ≤ m ≤ 10；

對於50%的資料，1 ≤ n ≤ 10，2 ≤ m ≤ 10^5；

對於80%的資料，1 ≤ n ≤ 10，2 ≤ m ≤ 10^9；

對於100%的資料，1 ≤ n ≤ 50，2 ≤ m ≤ 10^9。

題解

好久沒寫矩乘有點忘了

但是這種不難的題還是可以寫出來的==

DP式子顯然\(f[i][j] = (Sum[i-1][j]+Sum[i-1][j-1]+Sum[i-1][j+1])\)

那個\(Sum[i][j]\)表示的是第j行前i列的字首和

然後這樣不好做矩乘

可以用\(f[i][j]\)表示第j行前i列的字首和

然後就是\(f[i][j] = f[i-2][j] + f[i-1][j] + f[i-1][j-1] + f[i-1][j+1]\)

但是這是個字首和

所以\(Ans=f[m-1][n]+f[m-1][n-1]\)

這樣就可以矩乘了

構造一個\((1 , n*2)\)的初始矩陣

前n個表示的是當前列的每一行的\(f[][]\)

後n個表示的是當前列的上一列的每一行的\(f[][]\)

然後轉移矩陣就肥腸簡單了

只需要把要轉移的位置補上1就可以了

程式碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
const int N = 105 ;
const int mod = 30011 ;
using namespace std ;
int n , m , E ;
int t[N][N] , Ans ;
struct Matrix {
    int f[N][N] ;
    inline Matrix () { memset(f , 0 , sizeof(f)) ; }
    inline void Start() { for(int i = 1 ; i <= E ; i ++) f[i][i] = 1 ; }
    inline friend Matrix operator * (Matrix a , Matrix b) {
        Matrix temp ;
        for(int i = 1 ; i <= E ; i ++)
            for(int j = 1 ; j <= E ; j ++)
                for(int k = 1 ; k <= E ; k ++)
                    temp.f[i][j] = (temp.f[i][j] + a.f[i][k] * b.f[k][j]) % mod ; 
        return temp ;
    }
} st , b , Now ;

inline Matrix Fpw(Matrix Base , int k) {
    Matrix temp ; temp.Start() ;
    while(k) {
        if(k & 1) temp = temp * Base ;
        Base = Base * Base ; k >>= 1 ;
    }
    return temp ;
}
int main() {
    cin >> n >> m ; t[1][1] = 1 ; E = (n << 1) ;
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++) t[2][i] = (t[1][i] + t[1][i - 1] + t[1][i + 1]) % mod ;
    if(m <= 3) { Ans = (t[m - 1][n] + t[m - 1][n - 1]) % mod ; printf("%d\n",Ans) ; return 0 ; }
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++) st.f[1][i] = t[2][i] ;
    for(int i = n + 1 ; i <= E ; i ++) st.f[1][i] = t[1][i - n] ;
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++) {
        b.f[i][i] = 1 ; 
        if(i != 1) b.f[i - 1][i] = 1 ;
        if(i != n) b.f[i + 1][i] = 1 ; 
        b.f[i + n][i] = 1 ;
    }
    for(int i = n + 1 ; i <= E ; i ++) b.f[i - n][i] = 1 ;
    Now = Fpw(b , m - 3) ; st = st * Now ;
    Ans = (st.f[1][n] + st.f[1][n - 1]) % mod ;
    cout << Ans << endl ;
    return 0 ;
}