【bzoj4417】[Shoi2013]超級跳馬 矩陣乘法
阿新 • • 發佈：2017-11-10
sample 分享 乘法 包含 輸出 lin 一行 zoj tor 
試求跳法種數mod 30011。
題目描述
現有一個n行m列的棋盤，一只馬欲從棋盤的左上角跳到右下角。每一步它向右跳奇數列，且跳到本行或相鄰行。跳越期間，馬不能離開棋盤。例如，當n = 3, m = 10時，下圖是一種可行的跳法。
試求跳法種數mod 30011。
輸入
僅有一行，包含兩個正整數n, m，表示棋盤的規模。輸出
僅有一行，包含一個整數，即跳法種數mod 30011。樣例輸入
3 5
樣例輸出
10
題解
矩陣乘法
設 $f[i][j]$ 表示跳到 $(i,j)$ 的方案數，那麽 $f[i][j]=\sum\limits_{k=1}^{\frac n2}f[i-2k+1][j-1]+f[i-2k+1][j]+f[i-2k+1][j+1]$。
那麽我們維護兩個前綴和：一個是與當前列相差為偶數的 $s1[i][j]$ 、一個是相差為奇數的 $s2[i][j]$ 。
於是就有 $s1[i+1][j]=s2[i][j]+s1[i][j-1]+s1[i][j]+s1[i][j+1]\ ,\ s2[i+1][j]=s1[i][j]$
發現這個式子可以使用矩陣乘法來加速遞推，因此直接矩乘即可。最後的答案就是前綴相減 $s1[m][n]-s2[m-1][n]$
時間復雜度 $O((2n)^3\log m)$
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define mod 30011
using namespace std;
int n;
struct data
{
int v[105][105];
data() {memset(v , 0 , sizeof(v));}
int *operator[](int a) {return v[a];}
data operator*(data &a)
{
data ans;
int i , j , k;
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
for(j = 1 ; j <= n ; j ++ )
for(k = 1 ; k <= n ; k ++ )
ans[i][j] = (ans[i][j] + v[i][k] * a[k][j]) % mod;
return ans;
}
}I , A , B;
data pow(data x , int y)
{
data ans;
int i;
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) ans[i][i] = 1;
while(y)
{
if(y & 1) ans = ans * x;
x = x * x , y >>= 1;
}
return ans;
}
int main()
{
int m , i;
scanf("%d%d" , &n , &m);
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) I[i][i] = I[i + n][i] = I[i][i + n] = 1;
for(i = 1 ; i < n ; i ++ ) I[i + 1][i] = I[i][i + 1] = 1;
n <<= 1 , A = pow(I , m - 2) , B = A * I;
printf("%d\n" , (B[1][n >> 1] - A[1][n] + mod) % mod);
return 0;
}
【bzoj4417】[Shoi2013]超級跳馬 矩陣乘法