隨機試驗與事件

隨機試驗：為觀察隨機現象而進行的實驗稱為隨機試驗，隨機試驗應滿足以下3個特徵：

1. 可重複性：可在相同的條件下重複進行
2. 結果可知：所有可能的結果不止一個，但是知道有哪些結果
3. 不可預測：試驗之前無法知道會出現哪個結果

樣本空間：隨機事件所有可能的集合組成樣本空間，用Ω表示

基本事件：隨機試驗中的一個可能結果。也稱樣本點，即樣本空間中的一個元素。是最小的劃分單元

事件：也稱複合事件，包含多個基本事件。是樣本空間的子集

事件域：若A、B是事件，則A、B的交、並、差也應該是事件，這些事件放在一起稱為事件域

注：基本事件中有兩個特別的事件。必然事件，用Ω表示（是不是發現跟樣本空間的表示一樣，這是因為樣本空間表示的事件是必然事件）。不可能事件，用Ø表示

事件的關係與運算

事件本來就是樣本空間的子集，所以事件的關係就是集合的關係，事件的運算就是集合的運算。省略。

不相容：若A∩B = Ø，則稱A和B不相容，或稱互斥，即A、B不會同時發生

完備事件組：若A₁∪A₂∪...∪A_n = Ω，且A_i∩A_j = Ø，則稱{A₁、A₂、...A_n} 為一個完備事件組

概率的公理化定義

1933年，蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫出版了《概率論基礎》，首次將概率論建立在嚴格的公理基礎上

概率的定義：

• 非負性：P(A) ≥ 0
• 規範性：P(Ω) = 1
• 可列可加性：任何可列的無窮個互不相容的事件A₁
  、A₂、...A_k....,有$$P({\cup}_{k=1}^∞A_k) = \sum_{k=1}^∞P(A_k)$$

古典概型和幾何概型

概型即概率模型，古典概型是最簡單也是最重要的概率模型。

古典概型：試驗只有有限個可能的結果；每個基本事件發生的可能性相同。

其概率計算公式：$P(A) = \frac{A中元素的個數}{Ω中元素的個數} $

幾何概型：試驗所有可能的結果形成一個有界區域Ω；對Ω的每個子集A，試驗結果落入A的概率與A的測度S(A)成正比，而與A的位置和形狀無關。（其實就是等概率）

條件概率

條件概率：在事件B發生的條件下事件A發生的概率

其計算公式$P(A | B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$