參考資料：《概率論與數理統計》 陳希孺  2000.3/2016.8

1，概率是什麼？      概率是表示某種情況出現的可能性大小的一種數量指標，它介於0和1之間。

概率包括主觀概率和客觀概率。主觀概率可以理解為一種心態或傾向性，是人們根據經驗和知識、利害關係做出的判斷，其具有一定的社會意義。

2，客觀概率 事件：某種（或某些）情況的陳述，它可能發生，也可能不發生，其發生與否要等待試驗的結果。

試驗：包含了觀察的主動行為，全部可能結果在試驗前就明確（或知曉範圍）。

事件是與試驗結果有關的一個命題，其正確與否取決於試驗結果如何。 單一試驗結果稱為基本事件。一個或多個基本事件並在一起，就構成了一個事件。基本事件本身也是事件。

隨機事件：事件是否在某次試驗中發生，取決於機遇。在概率論中，常稱事件為“隨機事件”或“偶然事件”。
古典概率：試驗的有限結果具有等可能性 幾何概率：將古典概率拓展到了無限的情況。 概率的統計定義：一種通過實驗去估計概率的方法。即，用頻率估計概率。它實際上沒有提供確定概率的方法，而是提供了一種估計概率的方法和檢驗理論正確性的手段。 概率的公理化定義：基本事件構成集合O，集合類F包括O的所有子集。對F的任意成員A，定義P（A）為事件概率

柯爾莫戈羅夫公理體系的三條假設：概率介於0和1之間、必然事件概率為1且不可能事件概率為0、加法公理。

古典概率、幾何概率滿足加法公理，故其在柯式體系之內。

3，事件運算 事件的蘊含關係，A蘊含B，即B包含A。有P（A）<=P(B)

A B 相互蘊含則推出A 和 B 相等 事件的和：也稱事件的並，兩個事件至少發生一個。記為A+B。

互斥：兩個事件不可能同時發生。 對立：兩個事件不可能同時發生且必然發生一個。

加法公理：互斥事件和的概率等於各個事件的概率之和。 事件的積：也稱事件的交，兩個事件同時發生。記為AB。

事件的差：A發生B不發生，記為A-B。顯然： A-B=A*（B補）

條件概率：P（AB）=P（A|B）*P（B） 事件獨立性：若P（A|B）=P（A），稱事件B對事件A的發生無影響，即A與B 獨立。

概率乘法定理：對於獨立事件，P（AB）=P（A）*P（B） 相互獨立的事件相當於事件空間的若干維度。故而相互獨立可推出兩兩獨立，反之不成立。

完備事件群：一組事件（有限或無限），兩兩互斥且每次試驗中至少發生一個。 全概率公式：對事件A，構造完備事件群B，由A=AO=AB1+AB2+AB3...（這一步是事件計算）

P（A）=P（AB1）+P（AB2）+.... 故P（A）=P（B1）*P（A|B1）+P（B2）*P（A|B2）...，即事件A發生的概率，為其在因素集合B中各因素下A發生的條件概率以各因素自身概率為權的加權平均和。此式稱為全概率公式。

貝葉斯定理：由全概率公式反推，P（Bi|A）=P（ABi）/P(A)=P(Bi)*P(A|Bi)/[P（B1）*P（A|B1）+P（B2）*P（A|B2）...] 上式指出了一個深刻的道理：若事件A發生了，它是由某原因Bi造成的概率,為【Bi 發生概率乘上在Bi下A發生的條件概率】佔【在因素集合B中各因素下A發生的條件概率以各因素自身概率為權的加權平均和】的比例。 我們可以根據貝葉斯公式，從一項結果中推斷其發生的原因；更重要的是，新的資訊可能改變人們對原有結論的認識，在生活中，原以為不甚可能的一種情況，可以因某項事件的發生而變得甚為可能。

舉例言之，某病在人群中的帶菌率為0.03，因為檢驗手段有不完備，在帶菌情況下被檢測出陽性的概率為0.99，在不帶菌情況下被檢測出陽性的概率為0.05，則假設某人被檢出陽性，根據貝葉斯公式，他帶菌的概率為0.99*0.03/（0.99*0.03+0.97*0.05）=0.38。可見，貝葉斯定理可以得出一些反常識的有趣結論。