1. r(A)=n:矩陣A的秩等於未知數的個數。
2. ⾼斯消元法：通過用初等行變換將增廣矩陣化為行階梯陣，然後通過回代求解線性方程組的解。原理是將方程組中每個方程含有的未知數的個數降到最低，並且最下面的方程含有的未知數的個數最少。
3. QR分解：把矩陣分解成一個列向量正交矩陣與一個上三角矩陣的積。原理是將矩陣每個列作為一個基本單元，將其化為正交的基向量與在這個基向量上的投影長度的積。
4. Cholesky 分解：將一個對稱正定矩陣分解成一個下三角矩陣與其共軛轉置之乘積。
5. 程式碼見：eigenMatrix.cpp與CMakeLists.txt
   eigenMatrix.cpp檔案

/*求解 A * x = B 這個方程*/

#include <iostream>
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Dense>
#include <Eigen/Cholesky>

using namespace std;
using namespace Eigen;

#define MATRIX_SIZE 100

int main( int argc,char** argv )
{
    MatrixXd A_pre = MatrixXd::Random( MATRIX_SIZE, MATRIX_SIZE )
 
;
    MatrixXd A = A_pre.transpose()*A_pre ;                  //使得A為正定對稱矩陣，才能使得cholesky分解成功
    VectorXd B = VectorXd::Random( MATRIX_SIZE );
    VectorXd x = A.colPivHouseholderQr().solve(B);          //呼叫QR分解求解
    VectorXd y = A.llt().solve(B);                          //呼叫cholesky分解求解

    cout <<
 
"A*x=B方程的解為\n"<< x << endl;
    cout <<"A*y=B方程的解為\n"<< y << endl;
}

CMaleLists.txt檔案

cmake_minimum_required( VERSION 2.8 )
project( useEigen )

set( CMAKE_BUILD_TYPE "Release" )
set( CMAKE_CXX_FLAGS "-O3" )

# 新增Eigen標頭檔案
include_directories( "/usr/include/eigen3" )

add_executable( eigen eigenMatrix.cpp )

程式碼見：useGeometry.cpp與CMakeLists.txt

useGeometry.cpp檔案

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

using namespace std;
using namespace Eigen;

int main(int arcg,char** argv)
{
    Quaterniond q1 = Quaterniond(0.55,0.3,0.2,0.2).normalized();   //定義並歸一化四元數
    Quaterniond q2 = Quaterniond(-0.1,0.3,-0.7,0.2).normalized();
    Vector3d t1 ,t2,p1,p,p2;
    t1 << 0.7,1.1,0.2;
    t2 << -0.1,0.4,0.8;
    p1 << 0.5,-0.1,0.2;
  

    Isometry3d T_cw1 = Isometry3d::Identity();
    T_cw1.rotate ( q1 );
    T_cw1.pretranslate ( t1 );

    Isometry3d T_cw2 = Isometry3d::Identity();
    T_cw2.rotate ( q2 );
    T_cw2.pretranslate ( t2 );



    p = T_cw1.inverse() *p1;   //不能用轉置，因為這裡不是純旋轉，見書42頁
    p2 = T_cw2 *p ;

    cout<<"p2 = "<<p2.transpose()<<endl;
}

CMakeLists.txt檔案

cmake_minimum_required( VERSION 2.8 )
project( geometry )

# 新增Eigen標頭檔案
include_directories( "/usr/include/eigen3" )

add_executable( eigenGeometry eigenGeometry.cpp )

1. 證明：
   設某個單位正交基 $(e_1,e_2,e_3)$經過一次旋轉變成了 $(f_1,f_2,f_3)$，那麼旋轉矩陣
   $R = \begin{bmatrix} e_1^T \\ e_2^T \\ e_3^T \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} f_1 & f_2 &f_3 \end{bmatrix} \\ \because \begin{bmatrix} e_1^T \\ e_2^T \\ e_3^T \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} e_1& e_2 &e_3 \end{bmatrix} = I \\ \begin{aligned}\therefore R^T \cdot R &= \begin{bmatrix} f_1^T \\ f_2^T \\ f_3^T \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} e_1^T \\ e_2^T \\ e_3^T \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} f_1 & f_2 &f_3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} f_1^T \\ f_2^T \\ f_3^T \end{bmatrix} \cdot I \cdot \begin{bmatrix} f_1 & f_2 &f_3 \end{bmatrix} \\ &= I \end{aligned} \\ \therefore R^T \cdot R=I$