洛咕3312 [SDOI2014]數表

終於獨立寫出一道題了。。。真tm開心（還是先寫完題解在寫的）

先無視a的限制，設\(f[i]\)表示i的約數之和

不妨設\(n<m\)

\(Ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mf[\gcd(i,j)]\)

\(Ans=\sum_{x=1}^nf[x]\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=x]\)

莫比烏斯反演，\(Ans=\sum_{x=1}^nf[x]\sum_{x|y}\mu(\frac{y}{x})\lfloor\frac{n}{y}\rfloor\lfloor\frac{m}{y}\rfloor\)

換個方法列舉，列舉\(\frac{y}{x}\)

\(Ans=\sum_{x=1}^nf[x]\sum_{y=1}^{n/x}\mu(y)\lfloor\frac{n}{xy}\rfloor\lfloor\frac{m}{xy}\rfloor\)

先列舉\(xy\)，再列舉\(x\)

\(Ans=\sum_{x=1}^n\lfloor\frac{n}{x}\rfloor\lfloor\frac{m}{x}\rfloor\sum_{y|x}^nf[y]\mu(\frac{x}{y})\)

前面數論分塊，後面預處理

現在有了a的限制，只要將詢問按照a排序，樹狀陣列維護字首和，每次加入即可

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define vd void
typedef long long ll;
il int gi(){
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){
        if(ch=='-')f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
struct naive{unsigned int f,i;}s[100010];
il bool operator<(const naive&a,const naive&b){return a.f<b.f;}
struct ques{int n,m,a,i;}Q[100010];
il bool operator<(const ques&a,const ques&b){return a.a<b.a;}
unsigned int pri[100010],pr,mu[100010],f[100010],ans[100010];
bool yes[100010];
unsigned int t[100010];
il vd update(int x,unsigned int p){while(x<100001)t[x]+=p,x+=x&-x;}
il unsigned int query(int x){unsigned int ret=0;while(x)ret+=t[x],x-=x&-x;return ret;}
int main(){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<100001;++i){
        if(!yes[i])pri[++pr]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=pr&&i*pri[j]<100001;++j){
            yes[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0){mu[i*pri[j]]=0;break;}
            mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<100001;++i)
        for(int j=i;j<100001;j+=i)
            f[j]+=i;
    for(unsigned int i=1;i<100001;++i)s[i]=(naive){f[i],i};
    std::sort(s+1,s+100001);
    int q=gi(),n,m,a;
    for(int i=1;i<=q;++i)n=gi(),m=gi(),a=gi(),Q[i]=(ques){n,m,a,i};
    std::sort(Q+1,Q+q+1);
    int p=1;
    for(int i=1;i<=q;++i){
        while(p<100001&&s[p].f<=Q[i].a){
            for(int j=s[p].i;j<100001;j+=s[p].i)update(j,mu[j/s[p].i]*f[s[p].i]);
            ++p;
        }
        n=Q[i].n,m=Q[i].m;if(n>m)std::swap(n,m);
        for(int l=1,r;l<=n;++l){
            r=std::min(n/(n/l),m/(m/l));
            ans[Q[i].i]+=(query(r)-query(l-1))*(n/l)*(m/l);
            l=r;
        }
    }
    for(int i=1;i<=q;++i)printf("%u\n",ans[i]&2147483647);
    return 0;
}