BZOJ
Luogu
題意：給定n，m，a，求
\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[\sigma(\gcd(i,j))\le{a}]\sigma(\gcd(i,j))\]
多組數據，\(n,m\le10^5\)

sol

首先\(\sigma(i)\)是個積性函數，在積性函數與線性篩中提到了篩的方法，可供參考。
多組數據不好處理，但好在可以離線。把所有詢問按照\(a\)排序，再把1-N所有數按照\(\sigma(i)\)排序，再依次加入。
為了動態維護前綴和就需要寫樹狀數組。
考慮到每個數只會被加入一次，被加入在\(\lfloor\frac Ni\rfloor\)個位置，所以加入的復雜度是\(O(\sum_{i=1}^{n}\lfloor \frac ni\rfloor*\log_2{n})\)

code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 100005;
int gi()
{
    int x=0,w=1;char ch=getchar();
    while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
    if (ch=='-'
 
) w=0,ch=getchar();
    while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return w?x:-x;
}
struct query{
    int n,m,a,id;
    bool operator < (const query &zsy) const
        {return a<zsy.a;}
}q[N];
int T,maxN,pri[N],tot,zhi[N],mu[N],low[N],sum[N],sigma[N],id[N],c[N],ans[N];
void
 
 Mobius()
{
    zhi[1]=mu[1]=low[1]=sum[1]=sigma[1]=1;
    for (int i=2;i<=maxN;i++)
    {
        if (!zhi[i])
        {
            low[i]=pri[++tot]=i;
            mu[i]=-1;sum[i]=sigma[i]=i+1;
        }
        for (int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=maxN;j++)
        {
            zhi[i*pri[j]]=1;
            if (i%pri[j]==0)
            {
                low[i*pri[j]]=low[i]*pri[j];
                sum[i*pri[j]]=sum[i]+low[i*pri[j]];
                sigma[i*pri[j]]=sigma[i]/sum[i]*sum[i*pri[j]];
                break;
            }
            mu[i*pri[j]]=-mu[i];
            low[i*pri[j]]=pri[j];
            sum[i*pri[j]]=pri[j]+1;
            sigma[i*pri[j]]=sigma[i]*sigma[pri[j]];
        }
    }
}
void Modify(int k,int val){for (;k<=maxN;k+=k&-k) c[k]+=val;}
int Query(int k){int res=0;for (;k;k-=k&-k) res+=c[k];return res;}
bool cmp(int x,int y){return sigma[x]<sigma[y];}
int calc(int n,int m)
{
    int i=1,j,pre=0,cur,res=0;
    while (i<=n)
    {
        j=min(n/(n/i),m/(m/i));
        cur=Query(j);
        res+=(n/i)*(m/i)*(cur-pre);
        i=j+1;pre=cur;
    }
    return res;
}
int main()
{
    T=gi();
    for (int i=1;i<=T;i++)
    {
        q[i]=(query){gi(),gi(),gi(),i};
        if (q[i].n>q[i].m) swap(q[i].n,q[i].m);
        maxN=max(maxN,q[i].n);
    }
    Mobius();
    for (int i=1;i<=maxN;i++) id[i]=i;
    sort(q+1,q+T+1);sort(id+1,id+maxN+1,cmp);
    for (int i=1,p=1;i<=T;i++)
    {
        for (;p<=maxN&&sigma[id[p]]<=q[i].a;p++)
            for (int j=id[p];j<=maxN;j+=id[p])
                Modify(j,sigma[id[p]]*mu[j/id[p]]);
        ans[q[i].id]=calc(q[i].n,q[i].m);
    }
    for (int i=1;i<=T;i++)
        printf("%d\n",ans[i]<0?ans[i]+2147483647+1:ans[i]);
    return 0;
}

[BZOJ3529][SDOI2014]數表