圖論演算法講解--最短路--Dijkstra演算法
一.緒論
要學習最短路演算法我們首先應該知道什麼是圖以及什麼是最短路。
圖在離散數學中的定義為：圖G=（V,E）是一個二元組（V,E）使得E⊆[V]的平方，所以E的元素是V的2-元子集。為了避免符號上的混淆，我們總是預設V∩B=Ø。集合V中的元素稱為圖G的定點（或節點、點），而集合E的元素稱為邊（或線）。通常，描繪一個圖的方法是把定點畫成一個小圓圈，如果相應的頂點之間有一條邊，就用一條線連線這兩個小圓圈，如何繪製這些小圓圈和連線時無關緊要的，重要的是要正確體現哪些頂點對之間有邊，哪些頂點對之間沒有邊。
簡單來講，一個圖就是由兩個集合構成，集合V儲存圖中的所有頂點，集合E儲存圖中所有的邊。
最短路的定義為：在一個圖中，每條邊都有一個權值，給出一個起點和終點，求出起點到終點之間權值最小的路徑，即是最短路。
二.Dijkstra概述
Dijkstra演算法用於解決單源最短路問題，所謂單源最短路就是指定一個起點，求出這個起點到其它所有點的最短路。 使用Dijkstra演算法還要求圖中不能有權值為負的邊，否則會出現死迴圈。
三.Dijkstra演算法流程
首先給出幾個定義： 1.s：表示單源最短路的起點。 2.d[v]：表示從起點到v點的距離，初始化d[1~n]=inf，d[s]=0，當Dijkstra演算法結束後，d[v]所儲存的即時由起點到v的最短路長度。 3.vst[v]：記錄頂點v是否已經更新過，初始化vst[1~n]=0，表示所有點都未被更新過。 4.val(u,v)：表示從u點連向v點邊的權值。
演算法流程： 1.從圖中找出所有u可達的頂點v0~vm，對於v0~vm，若有d[v]> d[u]+val(u,v)，則表示發現更短的路線，更新d[v]為d[u]+val(u,v)。 2.找出d[v]最小，且vst[v]=0的點，讓v作為新的源點，將vst[v]=1，表示頂點v已被更新。 3.重複上述過程，直到所有頂點都被更新。
從上述流程中不難發現，所謂Dijkstra演算法，就是依次讓每個頂點作為起點，更新最短路的過程。 具體過程，請結合演算法流程來看圖文演示，相信看完之後大家一定會理解Dijkstra演算法的思想。
四.圖文演示
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7. 發現所有頂點都被使用過，演算法結束，此時d陣列中儲存的就是以M為起點，到達所有其它點的單源最短路長度
五.演算法實現及優化
致此，我相信大家都理解了演算法的流程了，下面通過程式碼來看如何具體實現Dijkstra，詳見註釋。
普通版本：O(n^2)
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxv=1000;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int cost[maxv][maxv]; //鄰接矩陣存圖
int d[maxv];
bool vst[maxv];
int N; //頂點的個數
void dijkstra(int s)
{
memset(d,inf,sizeof(d)); //初始化d[1~N]=inf
d[s]=0; //初始化d[s]=0
fill(used,used+v,false); //初始化vst[1~N]=0
while(true)
{
int now=-1;
for(int u=0;u<N;u++)
{
if(!used[u]&&(now==-1||d[u]<d[now])) //找到d最小，且vst=0的點作為新的起點
now=u;
}
if(now=-1) break; //now未被更新，即表示所有頂點都被使用過，演算法結束
for(int v=0;v<N;v++) //遍歷當前起點now能到達的所有點
{
if(d[v]>d[now]+cost[now][v]) //若d[v]>d[u]+val(u,v)，則更新
d[v]=d[now]+cost[now][v]
}
vst[now]=1; //當前起點now已被使用過，vst[now]=1
}
}路徑還原：
除了最短路的長度，還要求出最短路的路徑
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
const int maxv=1000;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int cost[maxv][maxv]; //鄰接矩陣存圖
int prev[maxv]; //儲存前驅點編號，是路徑還原的關鍵
int d[maxv];
bool vst[maxv];
int N; //頂點的個數
void dijkstra(int s)
{
memset(d,inf,sizeof(d)); //初始化d[1~N]=inf
d[s]=0; //初始化d[s]=0
fill(used,used+v,false); //初始化vst[1~N]=0
while(true)
{
int now=-1;
for(int u=0;u<N;u++)
{
if(!used[u]&&(now==-1||d[u]<d[now])) //找到d最小，且vst=0的點作為新的起點
now=u;
}
if(now=-1) break; //now未被更新，即表示所有頂點都被使用過，演算法結束
for(int v=0;v<N;v++) //遍歷當前起點now能到達的所有點
{
if(d[v]>d[now]+cost[now][v]) //若d[v]>d[u]+val(u,v)，則更新
{
d[v]=d[now]+cost[now][v];
prev[v]=now; //同時更新前驅結點編號
}
}
vst[now]=1; //當前起點now已被使用過，vst[now]=1
}
}
vector <int>get_path(int t) //路徑還原函式，將最短路徑存在path中
{
vector<int>path;
for(;t!=-1;t=prev[t])
path.push_back(t);
reverse(path.begin(),path.end());
return path;
}優先佇列優化：O（ElogV）
#include <bits/stdc++.h>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
const int MAX_N=1000;
const int MAX_V=1000;
const int INF=0x3f3f3f3f;
struct edge
{
int to,cost;
};
typedef pair<int,int>P; //first是最短距離，second是頂點編號
int N; //頂點的個數
vector<edge>G[MAX_N]; //存圖的方法有很多種，大家可以用自己喜歡的方式
int d[MAX_V];
void Dijstra(int s)
{
//通過指定greater<P>引數，堆按照first從小到大順序取出值
priority_queue< P,vector<P>,greater<P> > que;
fill(d,d+N,INF); //初始化，d[1~N]設為inf
d[s]=0; //初始化，d[s]=0
que.push(P(0,s));
while(!que.empty())
{
P now=que.top(); //now表示當前起點
que.pop();
int u=now.second;
if(d[u]<now.first) continue;
for(int i=0;i<G[u].size();i++) //遍歷當前起點能到達的所有點
{
edge e=G[u][i];
if(d[e.to]>d[u]+e.cost) //如果d[v]>d[u]+val(u,v)則更新
{
d[e.to]=d[u]+e.cost;
que.push(P(d[e.to],e.to));
}
}
}
}