聚類模型

1、層次聚類

2、原型聚類-K-means

3、模型聚類-GMM

4、EM演算法-LDA主題模型

5、密度聚類-DBSCAN

6、圖聚類-譜聚類

三、模型聚類-高斯混合

高斯混合的類表示是一個高斯模型，相似性度量定義為服從類cj$c_j$高斯分佈μ,Σ$\mu ,\mathrm{\Sigma }$的概率（Kmeans的相似度量是聚距離度量），所以高斯混合聚類也可以看作是有參的密度聚類。高斯混合假設類之間服從伯努利分佈，樣本在某一類下服從高斯分佈，也就是說每個樣本獨立服從多元高斯分佈。為了使得所有樣本的概率最大化，即最大化對數似然函式：

L(Φ,μ,Σ)=log∏i=1mP(x(i))

=∑i=1mlog(P(x(i);Φ,μ,Σ))=∑i=1mlog∑z(i)=1k(P(x(i)|z(i);μ,Σ)P(z(i);Φ))$$\begin{array}{rl}L(\mathrm{\Phi },\mu ,\mathrm{\Sigma })& =log\prod _{i=1}^{m}P(x^{(i)})\\ =\sum _{i=1}^{m}log(P(x^{(i)};\mathrm{\Phi },\mu ,\mathrm{\Sigma }))\\ =\sum _{i=1}^{m}log\sum _{z^{(i)}=1}^k(P(x^{(i)}|z^{(i)};\mu ,\mathrm{\Sigma })P(z^{(i)};\mathrm{\Phi }))\end{array}$$ 也就是說假設類之間服從一個伯努利分佈： P(z(i)=cj)=P(z(i);Φ)=Φj,∑j=1kΦj=1,j=1,2..k$$P(z^{(i)}=c_j)=P(z^{(i)};\mathrm{\Phi })={\mathrm{\Phi }}_j,\sum _{j=1}^k{\mathrm{\Phi }}_j=1,j=1,\mathrm{2..}k$$ 樣本在類z(i)$z^{(i)}$下的條件概率服從高斯分佈： P(x(

i)=z(i)|z(i))=N(x;μ,Σ)=1(2π)n/2|Σ|1/2exp{−12(x−μ)TΣ−1(x−μ)}$$P(x^{(i)}=z^{(i)}|z^{(i)})=\mathcal{N}(\mathbf{x};\mu ,\mathbf{\Sigma })=\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}|\mathbf{\Sigma }{|}^{1/2}}\exp \left\{-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\mu {)}^T{\mathbf{\Sigma }}^{-1}(\mathbf{x}-\mu )\right\}$$ 那麼樣本x(i)$x^{(i)}$和類標籤z(i)$z^{(i)}$的聯合分佈為：

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