caioj 1154 同餘方程(模版)
阿新 • • 發佈:2018-12-10
求x的最小正整數解,使得ax=b(mod m)
那麼顯然ax - b = m * y
ax - my = b
那麼就套入Ax+By = K的不定方程中,然後用exgcd求解即可
但這道題求最大正整數解,對於一組解,有這樣一個推論
x = x0 +k*(b/gcd(a,b))
y = y0-k*(a/gcd(a,b))
k為任意正整數 可以帶入方程中算一下,依然滿足方程。
那麼也就是說x的變化幅度為b / gcd(a,b)
令d = gcd(a,b), B = b
那麼最小正整數解就是 (x * (K / d)) % (B/d) + (B/d)) % (B/d)
x * (K / d)是一個解,然後模掉(B/d),也就是變成和0最近的解
如果是負數,再加上一個(B/d)就整數,然後再模一個(B/d)不會改變值
如果是整數,加上(B/d)再模(B/d)也不會改變值。
所以這樣求出來的就是最小正整數解。
#include<cstdio> #include<cctype> #define REP(i, a, b) for(int i = (a); i < (b); i++) #define _for(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); i++) using namespace std; typedef long long ll; void read(ll& x) { int f = 1; x = 0; char ch = getchar(); while(!isdigit(ch)) { if(ch == '-') f = -1; ch = getchar(); } while(isdigit(ch)) { x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); } x *= f; } void exgcd(ll a, ll b, ll& d, ll& x, ll& y) { if(!b) { d = a; x = 1; y = 0; } else { exgcd(b, a % b, d, y, x); y -= x * (a / b); } } int main() { ll a, b, m, x, y, d; read(a); read(b); read(m); ll A = a, B = -m, K = b; exgcd(A, B, d, x, y); if(K % d != 0) puts("no solution!"); else printf("%lld", ((x * (K / d)) % (B/d) + (B/d)) % (B/d)); return 0; }