傳送門

Description$Description$

根據題目描述以及最基礎的找規律（真的很基礎），答案就是

∑i=1n∑j=1m(2gcd(i,j)−1)=2∑i=1n∑j=1mgcd(i,j)−nm$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m(2gcd(i,j)-1)=2\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}gcd(i,j)-nm$$

Solution$Solution$

其實問題的核心就在於求解

∑i=1n∑j=1mgcd(i,j)$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}gcd(i,j)$$
我們可以令 f(x)$f(x)$ 表示 gcd(i,j)$gcd(i,j)$ 為 x$x$ 的個數。

所以我們有

t=min{n,m}∑i=1n∑j=1mgcd

(i,j)=∑k=1tf(k)$$t=min\{n,m\}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}gcd(i,j)=\sum _{k=1}^{t}f(k)$$
當然這個可以用 Mobius 反演在 O(nn−−√)$O(n\sqrt{n})$ 的時間內得到解決，但這裡講一種 O(nlgn)$O(n\lg n)$ 的做法。

考慮如何計算 f(x)$f(x)$

找到 1⋯n$1\cdots n$ 及 1⋯m$1\cdots m$ 中所有能整除 x$x$ 的陣列成的數對， 答案就是

[nx]⋅[mx]$$\left[\frac{n}{x}\right]\cdot \left[\frac{m}{x}\right]$$
但是可以想到這些數對中可能有 gcd$gcd$ 為 x$x$ 的倍數的。

舉個例子，令 n=7,m=8,x=2$n=7,m=8,x=2$ ，滿足 x|i$x|i$ 且 x|j$x|j$ 的數對 (i,

j)$(i,j)$ 有：

(2,2),(2,4),(2,6),(2,8)(4,2),(4,4),(4,6),(4,8)(6,2),(6,4),(6,6),(6,8)$$(2,2),(2,4),(2,6),(2,8)(4,2),(4,4),(4,6),(4,8)(6,2),(6,4),(6,6),(6,8)$$
共 12$12$ 對，但是可以列舉得到 f(

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