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題目描述

Flute 很喜歡檸檬。它準備了一串用樹枝串起來的貝殼，打算用一種魔法把貝殼變成檸檬。貝殼一共有 N (1 ≤ N
≤ 100,000) 只，按順序串在樹枝上。為了方便，我們從左到右給貝殼編號 1..N。每隻貝殼的大小不一定相同，
貝殼 i 的大小為 si(1 ≤ si ≤10,000)。變檸檬的魔法要求，Flute 每次從樹枝一端取下一小段連續的貝殼，並
選擇一種貝殼的大小 s0。如果 這一小段貝殼中 大小為 s0 的貝殼有 t 只，那麼魔法可以把這一小段貝殼變成 s
0t^2 只檸檬。Flute 可以取任意多次貝殼，直到樹枝上的貝殼被全部取完。各個小段中，Flute 選擇的貝殼大小 s
0 可以不同。而最終 Flute 得到的檸檬數，就是所有小段檸檬數的總和。Flute 想知道，它最多能用這一串貝殼
變出多少檸檬。請你幫忙解決這個問題。

Sol

樸素dp是 O(n2)$O(n^2)$ 的
設 dp[i]$dp[i]$ 表示前i$i$個可能產生的最大價值,直接暴力轉移

一個顯然的結論是: 把一段的首尾大小強制相同不會使答案變差

於是我們對於每一種大小分別考慮:

sum[i]$sum[i]$ 表示與i$i$號貝殼大小相同的i$i$的字首的貝殼總數

首先從前往後 dp 值一定是不降的,對於兩個可能的決策點j1,j2(j1<j2)$j_1,j_2(j_1<j_2)$
由於後面那一坨平方項也是單增的,並且增加得很快,那麼當

其實每個決策點就是一個單調遞增的二次函式
二分出函式影象的”交點”來做最優決策

程式碼:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
 

#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<set>
#include<vector>
using namespace std;
#define Set(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define POW(a) ((a)*(a))
int n;
const int N=1e5+10;
const int MAXN=10200;
typedef long long ll;
int s[N];
int *st[MAXN];int top[MAXN];
int num[MAXN];
int pool[N<<1];
ll dp[N];
int lst[MAXN],pre[N],sum[N];
inline ll calc(int p,int x,int S){return dp[p-1]+1ll*S*POW(1ll*(x-sum[p]+1));}
#define INF 1e9
inline int query(int p,int q,int S)
{
    register int l=1,r=n,pos=n+1;
    while(l<=r){
        register int mid=l+r>>1;
        if(calc(p,mid,S)>=calc(q,mid,S)) r=mid-1,pos=mid;
        else l=mid+1;
    }
    return pos;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(register int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&s[i]),++num[s[i]];
    int h=0;
    for(register int i=0;i<MAXN;++i){
        st[i]=&pool[h];h+=num[i]+2;
    }
    register ll ans=0;
    for(register int i=1;i<=n;++i){
        pre[i]=lst[s[i]];lst[s[i]]=i;sum[i]=sum[pre[i]]+1;
        register int x=s[i];
        while(top[x]>1&&query(st[x][top[x]-1],st[x][top[x]],x)<=query(st[x][top[x]],i,x)) --top[x];
        st[x][++top[x]]=i;
        register int p,q;
        for(p=st[x][top[x]],q=st[x][top[x]-1];top[x]>1;--top[x],p=q,q=st[x][top[x]-1]) if(calc(p,sum[i],x)>calc(q,sum[i],x)) break;
        dp[i]=calc(p,sum[i],x);
        ans=max(ans,dp[i]);
    }
    printf("%lld\n",ans);
}