[bzoj1485][HNOI2009]有趣的數列_卡特蘭數_組合數
阿新 • • 發佈:2018-12-10
有趣的數列 bzoj-1485 HNOI-2009
題目大意:求所有1~2n的排列滿足奇數項遞增,偶數項遞增。相鄰奇數項大於偶數項的序列個數%P。
註釋:$1\le n\le 10^6$,$1\le P \le 10^9$。
想法:好題啊。
我們依次考慮1~2n,就是把當前$i$放進奇數項還是偶數項的問題。因為我們有相鄰奇數項大於偶數項的問題。所以當前放進奇數項的個數不能多於放進偶數項的個數。
進而我們將放進奇數項比作進棧,放進偶數項比作出棧。
答案就相當於$n$的出棧入棧序的個數。
等於$Catalan_n$。
利用卡特蘭數的通項公式:$Catalan_n=\frac{C_{2n}^{n}}{(n+1)}$。
$=\frac{(2n)!}{n!(n+1)!}$。
用列舉質因子的方式求每個質因子的貢獻即可。
Code:
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long ll; ll mod; bool vis[2000010]; int prime[2000010],cnt; ll qmul(ll x,ll y) { ll ans=0; x%=mod,y%=mod; while(y) { if(y&1) (ans+=x)%=mod; y>>=1; (x+=x)%=mod; } return ans; } ll qpow(ll x,ll y) { ll ans=1; x%=mod; while(y) { if(y&1) (ans*=x)%=mod; y>>=1; (x*=x)%=mod; } return ans; } void init() { for(int i=2;i<=2000000;i++) { if(!vis[i]) prime[++cnt]=i; for(int j=1;j<=cnt&&1ll*i*prime[j]<=2000000;j++) { vis[i*prime[j]]=true; if(i%prime[j]==0) break; } } } ll num(ll x,ll p) { ll re=0; while(x) { re+=(x/p); x/=p; } return re; } int main() { init(); ll n; cin >> n >> mod ; ll ans=1; for(int i=1;i<=cnt&&prime[i]<=n*2;i++) { ans=qmul(ans,qpow(prime[i],num(2*n,prime[i])-num(n,prime[i])-num(n+1,prime[i]))); } cout << ans << endl ; return 0; }
小結:好題啊。關於模型的轉化總是非常重要且巧妙的。