前言

這是個什麼神仙玩意兒？(仙圖 先把結論貼出來方便背板，證明什麼的啃完再補 考NOI前千萬不要點開什麼毒瘤的技能樹 所以現在點 由於很懶所以想到哪寫到哪

一些約定

$G$無向圖 $G[S]$點集S的誘導子圖 $\delta(S)$點集S的臨集

一些定義

弦

連線環上不相鄰兩點之間的邊

弦圖

任意長度>=4的環都有至少一條弦的圖 這是弦圖，這不是弦圖.jpg

單純點

一個點v是單純點當且僅當$G[\delta(v)]+v$是團

完美消除序列

一個n的排列v1,v2,v3…vn,滿足vi在vi,vi+1,vi+2…vn的誘導子圖中是一個單純點

一些性質

弦圖的判定

一個圖是弦圖當且僅當其有完美消除序列

最大勢演算法(MCS)

每個點有一個標號label[v]，初始label[v]=0 從後往前確定完美消除序列中的每一個元素，每次選擇label最大的點v加入序列，並將$\delta(v)$中的點的label+1 具體實現可以開n個佇列，不需要刪除 複雜度O(n+m)

void MCS() {
    int mx=0;
    fo(i,0,n) lst[i+n+1]=0;
    fo(i,1,n) sz[i]=0,vis[i]=0,add(n+1,i);
    fd(j,n,1) {
        int p=0;
        for(++mx;!p;) {
            --mx;int Id=mx+n+1;
            while (int k=lst[Id]) {
                int x=t[k];
                lst[Id]=nxt[k];
                if (!vis[x]) {
                    vis[x]=1;
                    rep(i,x) {
                        int y=t[i];
                        if (!vis[y]) {
                            mx=max(mx,++sz[y]);
                            add(sz[y]+n+1,y);
                        }
                    }
                    p=x;
                    break;
                }
            }
        }
        seq[rk[p]=j]=p;
    }
}
 

弦圖的判定

bzoj1242 先跑一邊MCS，然後考慮判定每個點是不是單純點 直接暴力是O((∑deg)^2)的，設$\alpha(v)$表示v在完美消除序列中的排名，v1,v2…vk表示$\delta(v)$中$\alpha$大於v的點按$\alpha$排序之後的序列，那麼只需要判斷v1是否和v2…vk相鄰即可。

弦圖的極大團

設$N(v)={u|u\in\delta(v)且\alpha(u)>\alpha(v)}$ 定理：弦圖中所有的團都滿足是$v$