有向圖博弈。給定一個有向圖，一個起點，起點上有一個棋子，兩個玩家輪流推動棋子，誰不能推了誰就輸了。希望知道某個點為起始是必勝還是必敗。

注：這兩個人都十分聰明，可以看透未來（？）。

一點分析：

1.顯然這要是個DAG，不然遊戲就不能結束了。。（廢話）  而且兩個人要在同一張圖上操作，輪流進行。。（即所謂的公平遊戲）

2.這兩個人都很聰明是什麼意思呢。。就是說對這兩個人而言，這個遊戲相當於是給每個點標上屬性必勝/必敗，然後把整幅圖放在他們面前，為了獲勝，他們只要無腦走必勝狀態就可以了。

2.1如果走到某個點，後繼有一個先手必敗，這個點就必勝。發現對手的破綻啦，果斷往那裡衝

2.2如果走到某個點，沒有後繼或者後繼全都是先手必勝，這個點就是必敗。敵軍太強了，我已走投無路

2.3A的必勝就是B的必敗。

3.上面的描述看起來很有道理，然而實際並沒有什麼用。我們希望把必勝必敗轉到函式裡面，這樣就可以套到各種情況裡了。

來看一看這個函式的要求。

3.1設函式值的全集為U，先手必勝狀態的函式值集合為S1，先手必敗狀態的函式值集合為S2，則S1|S2=U,S1&S2={};

3.2設當前函式值為y。當後繼有至少一個屬於S2時，y屬於S1；否則y屬於S2。

引入mex函式，U為自然數集合，S2=｛0｝，完美地滿足了條件。

3.3mex的特殊性質：如果SG（x）=y,則一定存在SG(x的後繼）=0~y-1。

3.1和3.2是解決單個遊戲的關鍵，3.3是組合多個遊戲的關鍵。

看起來問題解決了？當然沒有了。

如果起點和棋子有多個怎麼辦？

1.如果一個起點有多枚棋子，可以拆分成多個起點，又回到了每個起點一枚棋子的情況。

2.每個起點一枚棋子，有多個起點。每個起點的SG都可以算好了，然後異或起來，=0就是必敗，否則必勝。

（異或消掉了相同的部分，而由於3.3，相同的部分也確實是可以通過你走一步我走一步來抵消的）

於是，一個大遊戲可以被拆分成若干簡單的小遊戲。

很經典的NIM遊戲，放到這裡是適用的。

這樣的遊戲看起來十分優美，原因在於遊戲的結局只有必勝和必敗兩種情況，可以說是固定的，通過預知所有轉移就可以計算。

orz看穿未來卻要面對面玩一場註定了結局的遊戲的無聊先知A和B

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