前置技能

約定

1. $gcd(a,b)=(a,b)$
2. $[a]=\begin{cases}1,a=true\\0,a=false\end{cases}$

數論分塊

已知 $n,k$，則暴力地求 $S=\sum\limits_{i=1}^n\Big\lfloor\dfrac ni\Big\rfloor$ 需要 $O(n)$ 的時間。 把表 $(k=10)$ 列出來

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n/(n/i)	10	5	3	2	2	1	1	1	1	1

其實最多隻有 $2\sqrt n$ 種取值。 設當前列舉的下標為 $i$，當前位置的取值為 $\Big\lfloor\dfrac ni\Big\rfloor$，則相同取值的最右端點下標為 $\Bigg\lfloor\dfrac n{\big\lfloor\frac ni \big\rfloor}\Bigg\rfloor$。 因而可以寫出如下程式碼：

for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){
    r=n/(n/l);
    ans+=(
 
r-l+1)*(n/l);
}

時間複雜度$O(\sqrt n)$ 如果是求 $S=\sum\limits_{i=1}^n\Big\lfloor\dfrac ki\Big\rfloor$ 呢？計算右端點時特判一下是否越界即可。

for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){
	if(l>k) r=n;//超過k的部分取值相同，均為0
	else r=min(n,k/(k/l));//防止越過n
	ans+=(long long)(k/l)*(r-l+1);
}

積性函式

例子

1. 常函式 $1(n)=1$
2. 單位元 $e$
   (n)={1,n=10,n̸=1e(n)=\begin{cases}1,n=1\\0,n\not=1\end{cases}
3. 約數個數函式 $d(n)=\sum\limits_{x|n}1$
4. 約數和函式 $σ(n)=\sum\limits_{x|n}x$
5. 約數k次冪函式 $σ_k(n)=\sum\limits_{x|n}x^k$
6. 尤拉函式 $\varphi(n)=\sum\limits_{1}^n[(i,n)=1]$
7. 莫比烏斯函式 $\mu(x)=\begin{cases}1,& x=1\\(-1)^{k},& x=p_1p_2...p_k,\forall\ p_i\not=p_j( p_i 為 x 的唯一分解)\\0,& others\end{cases}$
8. $id(n)=n$

性質

如果 $f$ 和 $g$ 是積性函式，則下列函式也是積性函式。

1. $h(x)=f(x^p)$
2. $h(x)=f^p(x)$
3. $h(x)=f(x)g(x)$
4. $h(x)=\sum\limits_{d|x}f(d),g(\dfrac xd)$（狄利克雷卷積）

部分積性證明

尤拉函式

結論：若$(n,m)=1$，則$\varphi(nm)=\varphi(n)\varphi(m)$ 先說一下，網上那些根據通式證明的大多都是錯的，因為通式需要積性證明。 KaTeX parse error: No such environment: equation at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲}̲ \begin{aligned…

莫比烏斯函式

KaTeX parse error: No such environment: equation at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲}̲ \begin{align…

篩積性函式

尤拉函式

尤拉函式有下面的性質。 $1.\quad$若 $m\in prime,n≡0 \pmod m$ 則 $\varphi(n\times m)=\varphi(n)\times m$ KaTeX parse error: No such environment: equation at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲}̲ \begin{align… $2.\quad$若 $p\in prime,i\not≡0 \pmod p$ 則 $\varphi(i\times p)=\varphi(i)\times (p-1)$ KaTeX parse error: No such environment: split at position 14: \qquad \begin{̲s̲p̲l̲i̲t̲}̲ 證明：&\because 歐… 程式碼：

void euler_phi(int n){
	memset(phi,0,sizeof phi);//尤拉函式表
	memset(vis,0,sizeof vis);//是否是質數
	int tot=0;phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]){//找到質數
			prime[++tot]=i;//儲存質數 
			phi[i]=i-1;//質數的尤拉函式為它自身減1
		}
		for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++){
			vis[i*prime[j]]=1;//篩去合數
			if(i%prime[j]==0){
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];//性質1
				break;//繼續下去沒有意義，見尤拉篩法 
			}else
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);//性質2
		}
	}
}

莫比烏斯函式

void euler_mu() {
	memset(mu,0,sizeof mu);//莫比烏斯函式表
	memset(vis,0,sizeof vis);//是否是質數
    mu[1]=1;//特判
    for(int i=2;i<=n;++i) {
        if(!vis[i]) p[++tot]=i,mu[i]=-1;//是質數
        for(int j=1;j<=tot&&i*p[j]<=n;++j) {
            vis[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0) {
                mu[i*p[j]]=0;//有完全平方因子
                break;
            }
            mu[i*p[j]]=-mu[i];//積性函式(p是質數，mu[p]=-1)
        }
    }
}

Dirichlet 卷積

定義

定義兩個數論函式 $f,g$ 的Dirichlet卷積為 $(f*g)(n)=\sum\limits_{d|n}f(n)d(\dfrac nd)$ 其中它的單位元為

性質

1. $f*g=g*f$
2. $(f*g)*h=f*(g*h)$
3. $h*(f+g)=h*f+h*g$