逆元

扯一點沒有多大用的東西

在數論裡面，我們不把倒數叫做倒數，而叫做逆元~~（純屬裝逼）~~
逆元的作用很大，先來看點easy的栗子

某些性質

a + b \equiv a m o d p + b m o d p (m o d p)

a - b \equiv a m o d p - b m o d p (m o d p)

a b \equiv a m o d p * b m o d p (m o d p)

前面三個都是對的~~（不需要證明是因為我不會證）~~
但是

$(a \div b) m o d p \neq ((a m o d p) \div (b m o d p)) m o d p$

（÷是整除）

隨便舉個例子就知道它不成立

隨便搞一下

這是不是說我們對除法下的大數模操作就GG了？naive

先來看一些小學級別的東東，首先

a x = 1

明顯 $x = \frac{1}{a}$ ，我再加一個 $m o d p$ 的條件，變成了

a x \equiv 1 (m o d p)

那麼現在 $x$ 就不一定等於 $\frac{1}{a}$ 了

對於 $a x = 1$ ，我們把 $x$ 看成 $\frac{1}{a}$ ，而 $a x \equiv 1 (m o d p)$ 加了一個同餘 $p$
我們不把 $x$ 看成倒數，這時的 $x$ 為 $a$ 關於 $p$ 的逆元

注意：當且僅當 $(a, p) = 1$ 且 $p$ 為質數時， $x$ 才存在

其他東東

又是一個栗子

∵ (3 \times 5) m o d 7 = 1

∴ 3 \times 5 \equiv 1 (m o d 7)

在這裡， $5$ 和 $\frac{1}{3}$ 的作用是一樣的（乘3再模7都是1），所以，5是3關於7的逆元

注意一點，除了 $α = 5$ ，還有其他整數 $α$ 滿足 $3 α \equiv 1 (m o d 7)$ ，如 $19$ 等
連百度都說逆元唯一，但是逆元不是唯一的！！！~~（感謝同學指出）~~

逆元的卵用

前面已經說了一些東東了，相信逆元很好懂
我們不妨把 $x$ 的逆元用 $i n v (x)$ 來表示，那麼對於除法——

$(a \div b) m o d p = (a \times i n v (b)) m o d p = (a m o d p \times i n v (b) m o d p) m o d p$

難搞的除法變成了乘法，水了很多

how to get 逆元？

way one

基礎數論裡面有兩條著名的定理：尤拉定理和費馬小定理

尤拉定理： $a^{φ (n)} \equiv 1 (m o d n) (g c d (a, n) = 1)$

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