初涉莫比烏斯反演(附帶例題)
阿新 • • 發佈:2018-12-27
什麼是莫比烏斯反演
關於莫比烏斯反演
莫比烏斯反演,又稱懵逼鎢絲繁衍,是一種看了就一臉懵逼的東西。
好吧好吧,嚴肅點。(不過因為本蒟蒻真的很懵逼,所以錯誤之處請大神指出)
莫比烏斯反演就是下面這個式子:
如果存在函式F(x)和f(x),滿足
那麼就有:
或者如果F(x)和f(x)滿足:
那麼:
其中函式是莫比烏斯函式,定義是:
如果
如果為互異質數,…的乘積,則
否則,
所以線性篩莫比烏斯函式往後看,幾乎每段程式碼裡都有。
兩條性質
好了,現在補充兩條(我不會證,不過腦補一下就好了吧的)性質:
1.如果且為正整數,則有:
如果則上式為1.
2.對於任意正整數均有:
(其實證明應該和莫比烏斯函式的構造方法有關。有的時候,不要什麼東西都想著要明白是怎麼證的,畢竟你現在學的東西,是前人經過幾年甚至幾十年才搞出來的,有的真的沒辦法一朝一夕就會證明。
證明莫比烏斯反演
有了上面兩條我不會證的性質之後,我們就可以證一下莫比烏斯反演了。
由F(x)函式的定義可以得到:
接下來我們讓,那麼,所以就有,而每個一定會和一個乘一次,所以: