好題，這題是我理解的第一道斜率優化dp，自然要寫一發題解。首先我們要寫出普通的表達式，然後先用前綴和優化。然後呢？我們觀察發現，x【i】是遞增，而我們發現的斜率也是需要是遞增的，然後就維護一個單調遞增就行了。

放一個證明題解。

設f[i]表示在i點建倉庫的最小費用，易得方程：f[i]=min(f[j]+(x[i]-x[j+1])*p[j+1]+(x[i]-x[j+1])*p[j+2]...) =min(f[j]+c[i]+x[i]*(p[j+1..i])-(x[j+1]*p[j+1]+...+x[i]*p[i]))

設s[i]=p[1]+p[2]+..p[i],ss[i]=x[1]*p[1]+...x[i]*p[i]
f[i]=f[j]+c[i]+x[i]*(s[i]-s[j])-(ss[i]-ss[j])

設j<k即s[j]<s[k]，當取k更優時滿足：
f[j]+x[i]*(s[i]-s[j])+ss[j]>f[k]+x[i]*(s[i]-s[k])+ss[k]
x[i]>(f[k]-f[j]+ss[k]-ss[j])/(s[k]-s[j])

設x<y<z，cale(i,j)表示i、j間的斜率
若cale(x,y)>cale(y,z)
 1.x[i]>cale(x,y)>cale(y,z)則z更優
 2.x[i]<cale(x,y)，則x更優
因為x[i]遞增，情況1保持不變，情況2可能會變成情況1還是不可能取y
綜上當cale(x,y)>cale(y,z)時可以踢掉y，即維護斜率遞增
 
題幹：

題目背景

小B的班級數學學到多項式乘法了，於是小B給大家出了個問題：用編程序來解決多項式乘法的問題。
題目描述

L公司有N個工廠，由高到底分布在一座山上。

工廠1在山頂，工廠N在山腳。 由於這座山處於高原內陸地區（幹燥少雨），L公司一般把產品直接堆放在露天，以節省費用。

突然有一天，L公司的總裁L先生接到氣象部門的電話，被告知三天之後將有一場暴雨，於是L先生決定緊急在某些工廠建立一些倉庫以免產品被淋壞。

由於地形的不同，在不同工廠建立倉庫的費用可能是不同的。第i個工廠目前已有成品Pi件，在第i個工廠位置建立倉庫的費用是Ci。

對於沒有建立倉庫的工廠，其產品應被運往其他的倉庫進行儲藏，而由於L公司產品的對外銷售處設置在山腳的工廠N，故產品只能往山下運（即只能運往編號更大的工廠的倉庫），當然運送產品也是需要費用的，假設一件產品運送1個單位距離的費用是1。

假設建立的倉庫容量都都是足夠大的，可以容下所有的產品。你將得到以下數據：

    工廠i距離工廠1的距離Xi（其中X1
 
=0）;
    工廠i目前已有成品數量Pi;
    在工廠i建立倉庫的費用Ci;

請你幫助L公司尋找一個倉庫建設的方案，使得總的費用（建造費用+運輸費用）最小。
輸入輸出格式
輸入格式：

第一行包含一個整數N，表示工廠的個數。接下來N行每行包含兩個整數Xi, Pi, Ci, 意義如題中所述。

輸出格式：

僅包含一個整數，為可以找到最優方案的費用。

代碼：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include
 
<queue>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define duke(i,a,n) for(register int i = a;i <= n;i++)
#define lv(i,a,n) for(register int i = a;i >= n;i--)
#define clean(a) memset(a,0,sizeof(a))
const int INF = 1 << 30;
typedef long long ll;
typedef double db;
template <class T>
void read(T &x)
{
    char c;
    bool op = 0;
    while(c = getchar(), c < ‘0‘ || c > ‘9‘)
        if(c == ‘-‘) op = 1;
    x = c - ‘0‘;
    while(c = getchar(), c >= ‘0‘ && c <= ‘9‘)
        x = x * 10 + c - ‘0‘;
    if(op) x = -x;
}
template <class T>
void write(T x)
{
    if(x < 0) putchar(‘-‘), x = -x;
    if(x >= 10) write(x / 10);
    putchar(‘0‘ + x % 10);
}
const int N = 1e6 + 5;
int n,m,x[N],q[N],c[N];
ll f[N],ss[N],s[N];
db calc(int j,int k)
{
    return (f[k] - f[j] + ss[k] - ss[j]) * 1.0 / (s[k] - s[j]);
}
int main()
{
    read(n);
    duke(i,1,n)
    {
        read(x[i]);read(s[i]);read(c[i]);
        ss[i] = ss[i - 1] + x[i] * s[i];
        s[i] += s[i - 1];
    }
    for(int i = 1,l = 0,r = 0;i <= n;i++)
    {
        while(l < r && x[i] > calc(q[l],q[l + 1])) l++;
        f[i] = f[q[l]] + c[i] - ss[i] + ss[q[l]] + x[i] * (s[i] - s[q[l]]);
        while(l < r && calc(q[r - 1],q[r]) > calc(q[r],i)) r--;
        q[++r] = i;
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
} 

P2120 [ZJOI2007]倉庫建設 斜率優化dp