<1>.什麼是二分圖

如果一個圖的頂點可以分為兩個集合X和Y，圖的所有邊一定是有一個頂點屬於集合X，另一個頂點屬於集合Y，則稱該圖為“二分圖”（ Bipartite Graph ）

<2>.二分圖的判定

• 如果一個圖是連通的，可以用如下的方法判定是否是二分圖：

• 在圖中任選一頂點v，定義其距離標號為0，然後把它的鄰接點的距離標號均設為1，接著把所有標號為1的鄰接點均標號為2（如果該點未標號的話），如圖所示，以此類推。

• 標號過程可以用一次BFS實現。標號後，所有標號為奇數的點歸為X部，標號為偶數的點歸為Y部。

• 接下來，二分圖的判定就是依次檢查每條邊，看兩個端點是否是一個在X部，一個在Y部。

（如果一個圖不連通則在每個連通塊中作判定）



演算法實現；

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <deque>
#include <map>
#include <string>

using namespace std;

const int maxn=200+10;   //結點個數  任意值 
int jilu[maxn],erfen[maxn][maxn]; 


//BFS遍歷圖 
bool bfs(int s,int n){
	queue<int> q;
	q.push(s);
	jilu[s]=1;
	while(!q.empty()){
		int from=q.front();
		q.pop();
		for(int i=1;i<=n;++i){
			if(erfen[from][i]&&jilu[i]==-1){
				q.push(i);
				jilu[i]=!jilu[from];
			}
			if(erfen[from][i]&&jilu[from]==jilu[i])
			return false;
		}
	}
	return true;
}



int main(){
//   freopen("C:\\Users\\24398\\Desktop\\in-project.txt","r",stdin);
    int n,m,a,b;
    memset(jilu,0,sizeof(jilu));
    scanf("%d%d",&n,&m);    
    //n頂點個數      m邊數集 
    
	for(int i=0;i<m;++i){      //採用鄰接矩陣儲存   intput()
    	scanf("%d%d",&a,&b);
    	erfen[a][b]=erfen[b][a];	
	}
	
	bool panduan=false;
	for(int j=0;j<n;++j){
		if(erfen[j]==0&&bfs(j,n)){
			panduan=true;      //遍歷每一個連通分支
			break; 
		}
	}
	
	//output()
	if(panduan)   printf("二分圖\n");
	else     printf("非二分圖\n"); 
	
	return 0;
} 
 

<3>.最大匹配

匹配定義； 令G（V，E） 是一個無向圖，若存在邊集M ，使得M中所有的邊都沒有公共頂點，則稱M是G的一個匹配（matching）。

最大匹配；邊數最多的匹配稱為最大匹配

完美匹配；,如果所有的點都在匹配邊上，稱這個最大匹配是完美匹配

增廣路徑

如果P是圖G中一條連通兩個未匹配頂點的路徑（P以未匹配點為起點和終點的路徑），並且屬M的邊和不屬於M的邊（即已匹配和待匹配的邊）在P上交替出現，則稱P為現對於M的一條增廣路徑

二分圖的最大匹配-增廣路徑

令M是G的一個匹配，則P是M的一條增廣路徑；則是G的一個大小為|M|+1的匹配。





新增的邊或者是M的邊，或者是P的邊，但不是即在M的邊，也在P的邊。

舉例；



邊集；M={（b,c）,（e,f）,（i,j），（h,l）}  







推出三個結論；

1）P的路徑長度必定為奇數，第一條邊和最後一條邊都不屬於M

2）P經過取反操作可以得到一個更大的匹配M

3) M為G的最大匹配當且僅當不存在相對於M的增廣路徑

<4>.匈牙利演算法（求二分圖的最大匹配）

<匈牙利樹>；一般由 BFS 構造（類似於 BFS 樹）。從一個未匹配點出發運行 BFS（唯一的限制是，必須走交替路），直到不能再擴充套件為止。例如，由圖 1，可以得到如圖 2的一棵 BFS 樹，如果所有的葉子都是匹配點，則這課BFS樹是匈牙利樹 

 

演算法實現

(1). 置M（匹配）為空

(2). 找出一條增廣路徑P，通過取反操作獲得更大的匹配M’代替M

(3). 重複(2)操作直到找不出增廣路徑為止。

>>>細節

對於二分圖A側（可以把點少的一側看作A側）的每個點，依次如下操作：

1.設定A[i]為當前點。

2.用A側和B側的點輪流進行如下操作。

（1）對A側的點A[i]：找到一條沒有匹配的邊。如果邊的B側的點不屬於匹配中另外的邊，那麼這個時候表示增廣路徑找到了（初始情況下直接相連的一條邊的最大匹配就屬於這種情況），修改最大匹配。如果邊的B側的點屬於匹配中另外的邊，設B側的點為B[j]，則進入（2）。如果這些都做不到，需要進行回溯。如果回溯到了起點，表明從起點A[i]找增廣路徑失敗了。注意，能否找到增廣路徑全由A側的點決定（找邊和回溯），B側的點做的操作非常簡單。

（2）對B側的點B[j]，由於是找增廣路徑，已匹配的邊需要用到，故直接找到B[j]所在的匹配邊在A側對應的點A[k]，把A[k]置為當前點繼續進行步驟（1）。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <deque>
#include <map>
#include <string>

using namespace std;


/*
   匈牙利樹 （BFS構造）

find()    匈牙利演算法實現
main()主函式    基本輸入格式
 */

const int maxn=1010;     //假設頂點數

int erfen[maxn][maxn];
int used[maxn],d[maxn];
int n,m;
bool find(int x)
{
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        if(erfen[x][i]==true&&used[i]==false)
        {
            used[i]=1;    //標記
            if(d[i]==0||find(d[i]))   //遞迴實現
            {
                d[i]=x;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

int main()
{
//	freopen("C:\\Users\\24398\\Desktop\\in-project.txt","r",stdin);
    while(scanf("%d",&n)!= EOF)
    {
        int x,y;
        int sum=0;
        memset(d,0, sizeof(d));
        memset(erfen,0, sizeof(erfen));
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%d: (%d) ",&x,&m);
            while(m--)
            {
                scanf("%d,",&y);
                erfen[x][y]=1;
            }
        }
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            memset(used,0, sizeof(used));
            if(find(j))
                sum++;
        }
        printf("%d\n",n-sum/2);
    }
    return 0;
}