1：背景 首先給大家介紹兩位數學界泰斗：

   麥克勞林，18世紀英國最具有影響的數學家之一。   他以熟練的幾何方法和窮竭法論證了流數學說，還把級數作為求積分的方法，以幾何形式給出了無窮級數收斂的積分判別法。他得到數學分析中著名的Maclaurin級數展開式，並用待定係數法給予證明。

  泰勒，英國數學家。泰勒以微積分學中將函式展開成無窮級數的定理著稱於世。然而，在半個世紀裡，數學家們並沒有認識到泰勒定理的重大價值。這一重大價值是後來由拉格朗日發現的，他把這一定理刻畫為微積分的基本定理。泰勒定理的嚴格證明是在定理誕生一個世紀之後，由柯西給出的。

2：推導   第一次見到泰勒公式長這樣，內心是不是崩潰的？

  下面我們就用一種簡單的方式來理解泰勒公式，讓不簡單變成簡單！   相信大家都會求導吧，給定一個f(x)，都可以唯一確定一個導函式f '(x)，導函式給出了原函式的變化情況。 比如f(x)=x3,導函式為f’(x)=3x2   但是，倒過來就不行了，一個導函式f’(x)=3x2對應原函式為f(x)=3x2+1，f(x)=3x2+2, f(x)=3x2+3….無窮多個 寫成積分形式就是∫=〖3x^2 〗.dx=x^3+c。   具體求導過程很多，為什麼呢？因為在求導的過程中，我們雖然得到的函式今後的變化情況，但損失了一部分資訊，就是原函式的初始值。概括一下，原函式的資訊=導函式的資訊+初始值資訊。

∫_0^x=〖f’(x)〗.dx+f(0) =∫_0^x=〖3x2 〗.dx+0^3 =3x2+C-03-C+03   其中f(0)就是初值資訊，並且初值資訊不一定從0開始，可以從任意位置開始，這時候可以得到：

f(x)=∫_0^x=〖f’(x)〗.dx+f(0) 繼續這個過程：

f’(x)=∫_0^x=〖f’’ (x)〗.dx+f’(0) 代入可得： f(x)=∫_0^x=〖(∫_0x=〖f^’’ (x).dx+f’(0)).dx+f(0)〗〗 =∫_0^x=∫_0x=〖f^’’ (x)dxdx+∫_0^x=〖f’ (0)dx+f(0)〗〗 =∫_0^x=∫_0

3：答疑   1）：概念不清楚，不知道泰勒公式具體是幹什麼的？   泰勒公式一句話描述：就是用多項式函式去逼近光滑函式。

  2）：在對泰勒公式進行求導時注意的問題。   對f(x)求到n階導數時，有 f(x)^(n)=f(x0)n*1=Rn^(n)(x) ，之後還需要繼續求n+1階導數，得到 f(x)^(n+1)=Rn(n+1)(x) 。

  3）：為什麼證明泰勒公式時不可以應用n次洛必達法則？   關鍵在於洛必達法則使用的條件，洛必達法則使用的條件之一是f(x)在x0的某領域內可導，注意是x0的某領域，並不是在x0處可導就可以使用，同濟7版教材書138頁最下面你可以看見一句話，他也說的是在x0的某領域存在n–1階導數，所以Rn(x)在x0處n階可導，只能推出Rn(x)在x0的某領域內n-1階可導，為什麼？你可以看一下導數的定義，一階可導要求f(x)在x0某領域有定義，所以只能使用n–1次洛必達法則，如果你想使用n次洛必達，你必須保證Rn(x)在x0某領域內n階可導，顯然前提條件只給了在x0處n階可導。

  4：泰勒公式的應用   在瞭解泰勒公式來源什麼？是什麼？之後，我們更需要知道它能做什麼？下面介紹泰勒公式的應用。泰勒公式在分析和研究數學方面，都有著重要的作用。 泰勒公式主要有以下六個應用： 一：求極限 二：求高階導數 三：證明不等式 四：判斷雜湊性 五：計算近似值 六：求函式的麥克勞林展開式   可以看出泰勒公式在微積分各個方面都有重要的應用。但是執行泰勒公式需要注意兩點：   （1）一般將函式展開成比最高階導數低一級即可   （2）恰當選擇等式兩邊的x與xo。只要注意分析，研究題設條件及其形是特點，並注意歸納，就能很好的應用泰勒公式。