數學之美---函式的泰勒(Taylor)展開式
泰勒公式
泰勒公式是將一個在x=x0處具有n階導數的函式f(x)利用關於(x-x0)的n次多項式來逼近函式的方法。若函式f(x)在包含x0的某個閉區間[a,b]上具有n階導數，且在開區間(a,b)上具有(n+1)階導數，則對閉區間[a,b]上任意一點x，成立下式：
其中， 
表示f(x)的n階導數，等號後的多項式稱為函式f(x)在x0處的泰勒展開式，剩餘的Rn(x)是泰勒公式的餘項，是(x-x0)n的高階無窮小。餘項
泰勒公式的餘項Rn(x)可以寫成以下幾種不同的形式：1、佩亞諾(Peano）餘項：
這裡只需要n階導數存在2、施勒米爾希-羅什(Schlomilch-Roche）餘項：
其中θ∈(0,1)，p為任意正實數。（注意到p=n+1與p=1分別對應拉格朗日餘項與柯西餘項）3、拉格朗日（Lagrange）餘項：
其中θ∈(0,1)。4、柯西（Cauchy）餘項：
其中θ∈(0,1)。5、積分餘項：
其中以上諸多餘項事實上很多是等價的。帶佩亞諾餘項
以下列舉一些常用函式的泰勒公式：
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