四邊形不等式

解決形如這樣的DP式子的問題
$F_{i,j}=mi$

區間包含的單調性:
對於任意的 $a<=b<=c<=d$,若 $w(b,c)<=w(a,d)$,則稱 $w$具有區間包含的單調性.
四邊形不等式:
對於任意的 $a<=b<=c<=d$,若 $w(a,c)+w(b,d)<=w(b,c)+w(a,d)$,則稱 $w$滿足四邊形不等式.
可以形象理解成交叉之和小於等於包含之和.

倘若上述的 $w$函式滿足區間包含單調性和四邊形不等式,則 $F$函式滿足四邊形不等式.

設 $p_{i,j}$為 $F_{i,j}$最優時取得的下標.
若 $F_{i,j}$滿足四邊形不等式,則 $p_{i,j}$單調.即 $p_{i,j}<=p_{i,j+1}<=p_{i+1,j+1}$

得到這些資訊後, $k$的範圍可以改寫成
$p_{i,j-1}<=k<=p_{i+1,j}$
這樣可以將複雜度優化至 $O(N^2)$.
一般來講,可以將決策點打表打出來觀察是否每行每列均單調.
當然如果能手動證明四邊形不等式也是極好的.