素數,埃式篩,尤拉篩
阿新 • • 發佈:2018-12-11
素數問題
素數(質數):除了1和它本身沒有其他的因子;
合數:反之
原理:
1.算術基本定理:任何一個大於1的自然數 N,那麼N可以唯一分解成有限個質數的乘積。
2. 若一個數可以進行因數分解,則得到的兩個數一定是有一個>=sqrt(x),另一個<=sqrt(x)。
3.1-N內的素數的個數大約是logN。
素數主要有兩個基本問題:
1.求1—n中的所有素數
2.判斷一個數是否是素數
暴力寫法:
#include<bits/stdc++> #define MAXN 1e5; bool isprime[MAXN]; bool is_prime(int x) { int flag=0; for(int i=2;i<sqrt(x);i++) { if(x%i==0) { flag++; break; } } if(flag) { isprime[x]=false; return false; } else { isprime[x]=true; return true; } } int init(int N) { int cnt=0; //記錄素數的個數 for(int i=2;i<=N;i++) { if(is_prime(i)) cnt++; } return cnt; }
埃氏篩
埃拉託斯特尼篩法,利用當前已經找到的素數,從後面的數中篩去當前素數的倍數。
原理:每個大於1的正整數n都可以表示成素數之積的形式。所以在1到n中一個數若不是素數,一定會被篩到。
複雜度:O(n*lglgn),近似為O(n)。
缺點:某些數被每個質因子都篩了一遍導致速度減慢。
#define MAXN 1e5 bool isnotprime[MAXN]; int prime[MAXN]; int ant=0; void init(int N) //求1到N中所有的素數 { memset(prime, 0, sizeof(prime)); for(int i =2;i<m;i++) { if (!isnotprime[i]) { prime[ant++]=i;// prime[0]=2 for (int k= i*i; k<=N; k+=i) isnotprime[k] = 1; } }
尤拉篩
和埃氏篩法的區別是對於每一個要篩除的數,尤拉篩法只篩除一次。
複雜度:O(n)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=100000+5;
bool isprime[MAXN];//isprime[]表示i是不是質數
int prime[MAXN], tot;//prime[]用來存質數
void init(int N)
{
memset(isprime,true,sizeof(isprime)/sizeof(bool)*N); //初始化所有的數為質數
for(int i=2;i<=N;i++)
{
if(isprime[i])
prime[tot ++] = i;//把質數存起來
for(int j=0;j<tot&&i*prime[j]<=N;j++)
{
isprime[i*prime[j]]=false;
if(i%prime[j]==0) break;//保證每個合數被它最小的質因數篩去
}
}
}
埃篩和尤拉篩複雜度其實相差不是很多,更推薦埃篩,畢竟好寫很多。