模擬的時候真沒想到這是一道這麼麻煩的題。。。

先來看題：

素數個數

題目描述

求1,2,\cdots,N1,2,⋯,N 中素數的個數。

輸入輸出格式

1 個整數N。

1 個整數，表示素數的個數。

 輸入輸出樣例

10

4

說明

• 對於40% 的資料，1 \N \10^6

• 對於80% 的資料，1 \lN \10^7

• 對於100% 的資料，1 \N \10^8 

當看到這道題的時候，我直接寫下了逐個取餘判斷的程式碼，然而看到資料範圍的時候我就慌了。。。

當時由於沒學過關於素數篩選的演算法，很顯然除了打表我什麼也幹不了。。。

好吧，不廢話了，直接步入正題：

由於這道題的資料範圍較大，因此列舉肯定是行不通的，就算是使用正常篩法，面對10的八次方的資料也是顯得十分的吃力，由此，我們要引入尤拉篩法(這裡先介紹一下樸素篩法）：

由於任何合數都可以拆分成若干素數的乘積，因此每當我們找到一個素數的時候，就可以將部分合數篩選出來，那麼我們就解決的部分的問題。

並且講到這裡有一個隱含條件：就是沒有被篩選出來的數就是素數（這個可以簡化程式碼長度，也是理解這道題的關鍵），至於證明，我們可以用反證法：如果它不是素數，那麼它一定是合數，而合數又可以拆分成兩個素數的乘積，那麼在找到它的因子的時候就一定會將其篩選出來。 證完

強忍著沒有在證明的時候說顯然。。。

但是，可能大家在證明的時候會發現一個問題：就是一個合數一次拆分時的素數因子可能不止一個，那麼不就重複計算了嗎？

因此我們要優化！！！（由此誕生了尤拉篩法）

由於下面講解問題，我們先看程式碼：

 1 #include<cstdio>
 2
 
 #include<cmath>
 3 int prime[100000005];
 4 bool vis[100000005];
 5 int Prime(int n)
 6 {
 7     int ans=0;
 8     for(int i=2; i<=n; i++)
 9     {
10         if(!vis[i])
11             prime[ans++]=i;
12         for(int j=0; j<ans&&i*prime[j]<=n; j++)
13         {
14             vis[i*prime[j]]=1;
15             if(i%prime[j]==0)
16                 break;
17         }
18     }
19     return ans;
20 }
21 int main()
22 {
23     int n;
24     scanf("%d",&n);
25     printf("%d",Prime(n));
26     return 0;
27 }

其實也很好理解：由於合數可以拆分成不同素數*k（k∈Z），那麼當我們篩選時只要篩選出最小素數因子即可，比如12

12=4*3=6*2 很顯然，我們需要的就是用素數2來篩選掉12，那麼怎麼實現呢？

其實這其中有一個規律：由於i是由小到大列舉的，並且陣列中的素數也是由小到大列舉的，那麼顯然我們會先看到4*3，又因為4在和素數2篩掉8時發現竟然能被整除，並且接下來的4*3是沒有意義的計算，那麼每當i%素數==0是跳出即可。

如果你要問我具體該如何證明那我可以簡單說一下：

由於p[j]*k(k∈Z)=i,那麼a[j+1]*i=a[j]*k*a[j+1]，所以a[j]乘以某個數一定在將來會把這個合數篩掉，由於a[j]比a[j+1]小，那麼a[j]才可能是最小素數因子。

好的，我講完了（好長啊qwq）