寫在前面

　　這篇部落格是我在【數論】對 算術基本定理 的研究 中的一部分

• 更相減損術

我們一直感覺，兩個數的因數與兩個數的差之間冥冥之中有著某種聯絡

　　別的先不說，來看一張打出來的表

　　一張看不出來什麼，再看一張

　　多看幾張

　　這幾張表能說明什麼呢？

　　我的想法是：

　　　　加減運算能夠破壞一個數的標準分解結構(畢竟單項式拆成了多項式)

　　　　而除了兩個(正整)數的公因子之外的因子，都可以看做多餘的，加減運算能夠破壞的只是這些多餘的因子

　　　　反覆進行加減，直到剩下的因數不能再被破壞(程式碼中體現為!b?)

　　　　剩下的那些因子之積就是GCD了

　　　　(初步的想法)

　　再想想，這不就是 乘法結合律 嗎？？

　　來把兩個數拆一下：

　　　　有兩個數 a,b∈N*，a>b

　　　　根據算術基本定理，有

　　　　a == P₁^a1P₂^a2P₃^a3......P_n^an

　　　　b == P₁^b1P₂^b2P₃^b3......P_n^bn

　　　　再結合乘法結合律帶入a，b

　　　　藍色部分即為a，b的最大公因數(所有質因子的積)

　　　　而因為a，b都是正整數，且規定a>b

　　　　在歐幾里得演算法中迴圈總是大數減小數(且兩個數一定是正整數)

　　　　且規定直到再減就兩個數相等，沒有誰大誰小為止

　　　　則綠色部分最終的計算結果只能是1

此處將MOD運算看作對於每一輪減法的加速

　　　　那麼答案就是a，b的最大公因數了！

若換成 MOD，那麼就是每個質因數的指數之間來回減啊減啊，一直減到綠色部分質因數的指數都為0

　　精煉一下，就是：

　　　　任何一個數n∈N*，都可以拆成d'*n的形式(此時只有一個數，沒有產生對比，則認為d'沒有什麼意義)

　　　　有兩個數 a,b∈N*，a == d'*n₁，a == d'*n₂ (d'為a，b的最大公因數，a>b)

　　　　根據乘法結合律，有

a-b == d' * (n₁

　　這樣一來，乘法結合律就是算術基本定理從單項式到多項式的橋樑

　　(博主是瞎想的，如果有這方面的知識歡迎告知啦)

ps:博主高二，好多東西不知道啦