1.費馬小定理求逆元(求a對於mod的逆元，要求mod為素數)

由費馬小定理 a^(p-1)≡1 , 變形得 a*a^(p-2)≡1(mod p)，答案已經很明顯了:若a,p互質,因為a*a^(p-2)≡1(mod p)且a*x≡1(mod p),則x=a^(p-2)(mod p),用快速冪可快速求之

• 複雜度O(logn)；
• 適用範圍：一般在mod是個素數的時候用，比擴歐快一點而且好寫。

ll power_mod(ll a, ll b, ll mod)
{
    ll ans = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1) ans = ans * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
inv2 = power_mod(a, mod - 2, mod);
 
 

2.擴充套件歐幾里得

給定模數m，求a的逆相當於求解ax=1(mod m) 這個方程可以轉化為ax-my=1 然後套用求二元一次方程的方法，用擴充套件歐幾里得演算法求得一組x0,y0和gcd 檢查gcd是否為1 gcd不為1則說明逆元不存在 若為1(a與m互質)，則調整x0到0~m-1的範圍中即可

• PS：這種演算法效率較高，常數較小，時間複雜度為O(ln n)
• 適用範圍：只要存在逆元即可求，適用於個數不多但是mod很大的時候，也是最常見的一種求逆元的方法。

typedef  long long ll;
void extgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y)
{    
    if(!b)
        { d=a; x=1; y=0;}    
    else
    { 
        extgcd(b,a%b,d,y,x);
        y-=x*(a/b);
    }
}
ll inverse(ll a,ll n)     //求a在mod下的逆元，不存在逆元返回-1
{
    ll d,x,y;    
    extgcd(a,n,d,x,y);    
    return d==1?(x+n)%n:-1;  //(x+n)%n 防止為負
}
 

3.逆元打表

有時會遇到這樣一種問題，在模質數p下，求1~n逆元 n< p（這裡為奇質數）。可以O(n)求出所有逆元，有一個遞推式如下

它的推導過程如下，設，那麼

對上式兩邊同時除，進一步得到

再把和替換掉，最終得到

初始化，這樣就可以通過遞推法求出1->n模奇素數的所有逆元了。

另外有個結論模的所有逆元值對應中所有的數，比如，那麼對應的逆元是。

線性求逆元

typedef  long long ll;
const int N = 1e5 + 5;
int inv[N]; 
void inverse(int n, int p) 
{    
    inv[1] = 1;    
    for (int i=2; i<=n; ++i) 
    {        
        inv[i] = (ll) (p - p / i) * inv[p%i] % p;    
    }
}
 

注意：

• 呼叫前要先預處理
• 呼叫的時候要先對除數取mod

效能分析：

• 時間複雜度O(n)
• 適用範圍：p是不大的素數而且多次呼叫，比如盧卡斯定理。

遞迴求逆元

LL inv(LL i)
{
    if(i==1)return 1;
    return (mod-mod/i)*inv(mod%i)%mod;
}

效能分析

• 時間複雜度:O(logmod)
• 好像找到了最簡單的演算法了！！
• 適用範圍： mod數是素數，所以並不好用，比如中國剩餘定理中就不好使，因為很多時候可能會忘記考慮mod數是不是素數。

參考部落格