本博客所有代碼基於題目 luogu_P3811

逆元：

　　一般用於求 (a/b) mod p

定義：

　　若 a*x ≡ 1 (mod p) ，且 a 與 p 互質，那麽我們就能定義: x 為 a 的逆元，記為 a^-1 ，所以我們也可以稱 x 為 a 的倒數(mod p意義下)。

　　所以對於 (a/b) mod p ，我們就可以求出 b 在 mod p 意義下的逆元，然後乘上 a ，再 mod p ，就是這個乘法逆元的值了。

求法：

First：費馬小定理

定理內容：如果 a , p 互質，那麽 a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

　　結合逆元方程 a*x ≡ 1 (mod p) ,得到 a*x ≡ a^(p-1) (mod p)

Second：歐拉定理

定理內容：如果a,p互質，那麽a^φ(p) ≡ 1 (mod p)，當 p 為質數時，φ(p)=p-1。

　　同理，結合同余方程，得 x=a^(p-2) mod p,快速冪求解即可

　　（這只是兩種不同的證明，代碼是相同的）

 1 #include<cstdio> 
 2 #define ll long long
 3 using namespace std;
 4 int n,p;
 5 inline ll ksm(ll a,ll b){
 
 6     ll ans=1;
 7     a%=p;
 8     while(b){
 9         if(b&1) ans=ans*a%p;
10         a=a*a%p;
11         b>>=1;
12     }
13     return ans%p;
14 }
15 void write(ll x){
16     if(x<0) putchar(‘-‘),x=-x;
17     if(x>9) write(x/10);putchar(x%10^48);
18 }
19 int main(){
20     scanf("%d%d
 
",&n,&p);
21     for(int i=1;i<=n;i++)
22         write(ksm(i,p-2)),putchar(‘\n‘);
23     return 0;
24 }

Third:解不定方程

解同余方程 ax≡1 (mod p) 等價於 解不定方程 ax+py=1
Exgcd求解即可（不會 請左轉 Exgcd ）
由於 p 是質數，那麽gcd(a,p)=1;
即求解不定方程 ax+by=gcd(a,b);

 1 #include<cstdio>
 2 using namespace std;
 3 int x,y;
 4 void exgcd(int a,int b){
 5     if(!b){x=1,y=0;return ;}
 6     exgcd(b,a%b);
 7     int t=x;
 8     x=y,y=t-a/b*y;
 9 }
10 void write(int x){
11     if(x>9) write(x/10);
12     putchar(x%10^48);
13 }
14 int main(){
15     int n,p;
16     scanf("%d%d",&n,&p);
17     for(int i=1;i<=n;++i)
18         exgcd(i,p),write((x%p+p)%p),putchar(‘\n‘);
19     return 0;
20 }

Forth：線性遞推

復雜度 O(n)
遞推過程：
令 p=ki+r ; {k=[p/i] (下取整), r=p mod i } (i<p,k<p,r<i)
則有 ki+r≡0(mod p) ①
①式左右同乘i^-1*r^-1 得：
k*r^-1+i^-1 ≡ 0 (mod p)
移項 得
i^-1 ≡ -k*r^-1 (mod p)
帶入 k=[p/i] (下取整), r=p mod i;
i^-1 ≡ -[p/i]*(p mod i)^-1 (mod p) ②
由於 (p mod i) < i ,所以,在求出 i^-1 之前,我們早已求出 (p mod i)^-1；
因此用數組 inv[i] 記錄i^-1 ( i 的逆元)
則 inv[i]=-p/i*inv[p%i]%p;

不要以為到這裏就結束了
因為我們需要保證 i^-1>0
所以,我們在②式右邊+p ( p mod p=0,答案不變)
即 inv[i]=p-p/i*inv[p%i]%p;
當然 inv[1]=1,inv[0]=tan90°(賦值為0);
而且 for循環 要從 2 開始，防止改變 inv[1] 的值;
至此,證畢。

 1 #include<cstdio>
 2 #define ll long long
 3 using namespace std;
 4 const int maxn=3e6+5;
 5 ll inv[maxn]={0,1};
 6 int main(){
 7     int n,p;
 8     scanf("%d%d",&n,&p);
 9     printf("1\n");
10     for(int i=2;i<=n;i++)
11         inv[i]=(ll)p-(p/i)*inv[p%i]%p,printf("%d\n",inv[i]);
12     return 0;
13 }

參考文獻：https://www.cnblogs.com/zjp-shadow/p/7773566.html

[模板]乘法逆元