題目：素數對猜想 （20 分）

讓我們定義d​n​​為：d​n​​=p​n+1​​−p​n​​，其中p​i​​是第i個素數。顯然有d​1​​=1，且對於n>1有d​n​​是偶數。“素數對猜想”認為“存在無窮多對相鄰且差為2的素數”。

現給定任意正整數N(<10​5​​)，請計算不超過N的滿足猜想的素數對的個數。

輸入格式:

輸入在一行給出正整數N。

輸出格式:

在一行中輸出不超過N的滿足猜想的素數對的個數。

輸入樣例:
20

輸出樣例:
4

素數分析

首先看一個關於質數分佈的規律： 　　1大於等於5的質數一定和6的倍數相鄰。例如5和7，11和13,17和19等等； 　　證明： 　　令x≥1，將大於等於5的自然數表示如下： 　　····· 6x-1，6x，6x+1，6x+2，6x+3，6x+4，6x+5，6(x+1），6(x+1)+1 ······ 　　可以看到，不在6的倍數兩側，即6x兩側的數為6x+2，6x+3，6x+4，由於2(3x+1)，3(2x+1)，2(3x+2)，所以它們一定不是素數，再除去6x本身，顯然，素數要出現只可能出現在6x的相鄰兩側。這裡有個題外話，關於孿生素數，有興趣的道友可以再另行了解一下，由於與我們主題無關，暫且跳過。　　這裡要注意的一點是，在6的倍數相鄰兩側並不是一定就是質數。 　　此時判斷質數可以6個為單元快進，加快判斷速度，原因是，假如要判定的數為n，則n必定是6x-1或6x+1的形式，對於迴圈中6i-1，6i，6i+1,6i+2，6i+3，6i+4，其中如果n能被6i，6i+2，6i+4整除，則n至少得是一個偶數，但是6x-1或6x+1的形式明顯是一個奇數，故不成立； 　　另外，如果n能被6i+3整除，則n至少能被3整除，但是6x能被3整除，故6x-1或6x+1（即n）不可能被3整除，故不成立。綜上，迴圈中只需要考慮6i-1和6i+1的情況，即迴圈的步長可以定為6，每次判斷迴圈變數k和k+2的情況即可。

程式碼實現

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String []args){
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int n =in.nextInt();
        int temp[]=new int[10000];
        int k=0;
        int count=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(isPrime_3(i)
 
==1){
                temp[k]=i;
                k++;
            }
        }
        for(int i=1;i<k;i++){
            if(temp[i]-temp[i-1]==2)
                count++;
        }
        System.out.print(count);
    }

    //判斷是不是素數
      static int isPrime_3(int num)
    {
        //兩個較小數另外處理
        if
 
(num ==2|| num==3 )
            return 1 ;
        //不在6的倍數兩側的一定不是質數
        if(num %6!= 1&&num %6!= 5)
            return 0 ;
        double tmp =Math.sqrt(num);
        //在6的倍數兩側的也可能不是質數
        for(int i= 5;i <=tmp; i+=6 )
            if(num %i== 0||num %(i+ 2)==0 )
                return 0 ;
        //排除所有，剩餘的是質數
        return 1 ;
    }
}