等比數列求和公式

阿新 • • 發佈：2018-12-12

首先，我們設 $q$ 為等比， $S$ 為前 $x$ 個的和(即 $ans$ )， $a$ 為第 $x$ 的數值

然後，證明開始： 先說下，各位 $dalao$ 可以邊看證明過程，一遍看下文的原理，這樣比較好理解~ $(1).S_n=a_1+a_2+a_3+...a_n$ $(2).q*S_n=q*a_1+q*a_2+q*a_3+...q*a_n$ $(3) . S_{n} - q * S_{n} = (自己$

代進去..)=a1−q∗an=a1−an+1(3).S_n-q*S_n=(自己代進去..)=a_1-q*a_n=a_1-a_{n+1}

(3) . S_{n} - q * S_{n} = (自 己 代 進 去 . .) = a_{1} - q * a_{n} = a_{1} - a_{n + 1}

(4).S_n-q*S_n=(1-q)*S_n

(5).a_1-a_{n+1}=a_1-a_1*q^n=(1-q^n)*a_1

(6).S_n-q*S_n=a_1-a_{n+1}→(1-q)*S_n=(1-q^n)*a_1

最後，我們可以得到公式：

S_n=(1-q^n)*a_1/(1-q)

證畢

證明過程的原理： $(1).$ 這個 $..$ 只要不是從啟智幼兒園出來的都應該沒問題吧 $(2).$ 也很顯而易見吧，普通的單項式*多項式 $(3).$ 因為是等比數列，所以 $a_i*q=a_{i+1}$

a_{i} * q = a_{i + 1}

，然後把兩個式子中互為相反數的數抵消，就可以得到

a_1-a_{n+1}

(4).

小學的乘法分配律，沒毛病吧

(5).

這個嘛，基本和

(4)

一樣，但我們需要先知道一個關於等比數列的東東(

now

為當前我們要求的是第幾位)：

a_{now}=a_1*(now-1)

。有了這個知識的鋪墊，就很容易理解了

(6).

各位把

(4)

、

(5)

證明出來的結果代進去就好了

本蒟蒻很少寫數論，各位 $dalao$ 看懂了就給個贊吧(•‾⌣‾•)

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