一、對稱矩陣（Symmetric Matrices）是指元素以主對角線為對稱軸對應相等的矩陣。 對稱矩陣是一個方形矩陣，其轉置矩陣和自身相等。

如果有n階矩陣A，其矩陣的元素都為實數，且矩陣A的轉置等於其本身（aij=aji）(i,j為元素的腳標)，則稱A為實對稱矩陣。比如： $A=\begin{bmatrix} 1 & 2&7\\ 2& 3&1\\ 7&1&11 \end {bmatrix}$ 二、設A為n階矩陣，若存在常數λ及n維非零向量$a$

a，使得$Aa=λa$，則稱λ是矩陣A的特徵值，$a$是A屬於特徵值λ的特徵向量。 A的所有特徵值的全體，叫做A的譜，記為 $λ(A)$。 經過A的線性變換後，向量$a$僅僅做了尺度的綻放而沒有做其他的變換。 三、 1.實對稱矩陣A的不同特徵值對應的特徵向量是正交的，即：$a_1,a_2為2個特徵向量，則a_1a_2=0$。 2.實對稱矩陣A的特徵值都是實數，特徵向量都是實向量。 3.n階實對稱矩陣A必可對角化，且相似對角陣上的元素即為矩陣本身特徵值。 4.若$λ_0$具有k重特徵值，必有k個線性無關的特徵向量，或者說必有秩$r$

(λ0E−A)=n−kr(λ_0E-A)=n-k，其中E為單位矩陣。 5.實對稱矩陣的逆的轉置矩陣等於它的逆矩陣。