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特徵向量和特徵值的幾何意義

阿新 • • 發佈：2019-01-17
什麼是特徵矩陣和特徵值？我們用整體論來考慮，假設P(A)=(1,2,3)是A的3個特徵向量。那麼P(A^2)就是(1^2,2^2,3^2)，P可以看作是一種運算元。當然，運算元的特性是需要用部分/細節詳細證明的。一旦證明，就可以作為整體的特徵。特徵值有什麼特性？說明矩陣可以分解成N維特徵向量的投影上面，這N個特徵值就是各個投影方向上的長度。由於n*n矩陣A可以投影在一個正交向量空間裡面，那麼任何N維特徵向量組成的矩陣都可以是線性投影變換矩陣，那麼I就是一個同用的線性變換投影矩陣。所以對於特徵值m，一定有是夠成了一個沒有線性無關向量的矩陣Aa=ma兩邊同乘以I得到 Aa=maI，所以(A-mI)a=0有非0解，那麼|A-mI|=0(可以用反正法，如果這個行列式不是0，那麼N個向量線性無關，在N維空間中只能相交於原點，不可能有非0解)。所以可以推出一些很有用的性質，例如A=[1/2,1,1;0,1/3,1;0,0,1/5]，那麼只要滿足|A- mI|=0的值就是特徵值，顯然特徵值陣列立即可以得到(1/2,1/3,1/5)。一個n*n的矩陣A，秩=1，那麼最大線性無關組=1組，特徵向量=1個，任意n維非零向量都是A的特徵向量。特徵向量本身不是定死的，這就好比座標系可以旋轉一樣。一旦特徵向量的各個方向確定了，那麼特徵值向量也就確定了。求特徵值的過程就是用特徵方程：|A-mE|=0,P(1/A)=1/P(A)，可以證明。有什麼物理含義呢？一個N維線性無關的向量，去掉其中的一維，那麼就有至少兩個向量是線性相關的了，所以行列式=0。特徵矩陣有什麼作用？把矩陣變化為正定矩陣，也就是A=P^-1BP，這樣的變換，A是對角陣。

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