高精度演算法

• 大數的儲存
• 高精度加法
• 高精度乘法

快速冪

進位制轉換

素數

• 大於一且因數只有1和它本身。
• 算數基本定理
  • 任何一個大於1的自然數 N,如果N不為質數，那麼N可以唯一分解成有限個質數的乘積$N=P_1^{a_1}\times P_2^{a_2}\times P_3^{a_3}\times ......\times P_n^{a_n}$，這裡$P_1<P_2<P_3......<P_n$
    均為質數，其中指數$a_i$是正整數。
• 判斷一個數是不是素數
• 一般演算法

  #include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;
  bool is_prime(int x){
  	for(int i=2;i*i<=x;i++){
  		if(x%i==0) return 0;
  	}
  	return 1;
  }
  int main(){
  	int n;
  	cin>>n;
  	cout<<is_prime(i);
  	return 0;
  }
  

• $O(nloglogn)$
  演算法

  #include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;
  bool a[100000005];
  int x[100000005];
  int find_prime(int n){
  	int tot=0;
  	for(int i=2;i<=n;i++){
  		if(!a[i]){
  			x[tot++]=i;
  			for(int j=2;j*i<=n;j++){
  				a[j*i]=1;
  			}
  		}
  	}
  	return tot;
  }
  int main(){
  	int len=find_prime(100000);
  	for(int i=0;i<
   
  len;i++){
  		cout<<x[i]<<" ";
  	}
  	return 0;
  } 
  

gcd/lcm

• gcd:最大公約數
• lcm:最小公倍數
• $(a,b)[a,b]=ab$

gcd

• $gcd(a,b)=p_1^{min(a_1,b_1)}\times p_2^{min(a_2,b_2)}\times ...\times p_n^{min(a_n,b_n)}$
• 怎麼算？
• 輾轉相減 $gcd(a,b) = gcd(b,a-b)$
• 輾轉相除法 $gcd(a,b) = gcd(b,a\%b)$
• 程式碼如下：

  int gcd(int a,int b){
  	if(b==0) return a;
  	return gcd(b,a%b);
  }
  

lcm

• $lcm(a,b)=p_1^{max(a_1,b_1)}\times p_2^{max(a_2,b_2)}\times ...\times p_n^{max(a_n,b_n)}$
• 程式碼如下：

  int lcm(int a,int b){
  	return a*b/gcd(a,b);
  }
  

示例程式碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int gcd(int a,int b){
	if(b==0) return a;
	return gcd(b,a%b);
}
int lcm(int a,int b){
	return a*b/gcd(a,b);
}
int main(){
	cout<<gcd(3,4)<<endl;
	cout<<lcm(3,4);
	return 0;
} 

裴蜀定理

• $gcd(a,b)=d\Rightarrow ax+by=d$
• $gcd(a,b)=1\Leftarrow\Rightarrow ax+by=1$

擴充套件歐幾里得演算法