特徵方程法解一階線性代數遞推式

數列{$a_n$}滿足$a_1=b,a_{n+1}=ca_n+d$，求該數列的通項公式

針對遞推關係式作出一個特徵方程$x=cx+d$

定理：設上述遞推關係式的特徵方程根為$x_0$

1. 當$x_0=a_1$時，$a_n=a_1$
2. 當$x_0\neq a_1$時，$a_n=b_n+x_0,b_n=b_1c^{n-1},b_1=a_1-x_0$

證明2： $\because c\neq 0,1$ 得$x_0=\frac{d}{1-c}$ 作換元$b_n=a_n-x_0$， $\therefore b_{n+1}=a_{n+1}-x_0=ca_n+d-\frac{d}{1-c}=ca_n-\frac{cd}{1-c}=c(a_n-x_0)=cb_n$

特徵方程法解二階線性代數遞推式

有數列{$a_n$}，遞推公式為$a_{n+2}=pa_{n+1}+qn,a_1=\alpha,a_2=\beta$

特徵方程為$x^2-px-q=0$

1. 當$x_1\neq x_2$時，$a_n=Ax_1^{n-1}+Bx_2^{n-1}$
2. 當$x_1=x_2$時，$a_n=(A+B)x_1^{n-1}$

(以上兩式中的$A,B$由$a_1=\alpha,a_2=\beta$決定) 當然解高階線性代數都可以用迭代法 斐波那契數列$f(n+2)=f(n+1)+f(n)$的特徵方程為$x^2-x-1=0$，得$x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$

真題

$T(n)=2T(\frac{n}{2})+2n$ $=2(2T(\frac{n}{4})+2\times\frac{n}{2})+2n$ $=4T(\frac{n}{4})+2n+2n$ $=4(2T(\frac{n}{8})+2\times \frac{n}{4})+2n+2n$ $=8T(\frac{n}{8})+2n+2n+2n$ 猜想$T(n)=2^kT(\frac{n}{2^k})+2n\times k$ 當$\frac{n}{2^k}=1$時，$n=2^k,k=log_2n$ $\therefore T(n)=2^kT(1)+2n\times k=an+2nlog_2n$ 故選B

這個的迭代就很簡單了，選D

同理，$T(n)=2^kT(\frac{n}{4^k})+k\sqrt{n}$ $n=4^k,2^k=\sqrt{n},k=\frac{log_2n}{2}$

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