影象處理之頻率域數學基礎
複數
複數C的定義如下:
其中R和I是實數,j是虛數,即。
C的共軛複數C*:
極座標下表示覆數:
其中,是該向量和實軸(x軸)的夾角。
根據尤拉公式:
有:
‘
另外,複函式F(u)可表述為:
其中,R(u)和I(u)分別表示實分量函式和虛分量函式。
一維
衝激
連續變數t的單位衝激表示為:
並且滿足如下等式:
一個衝激具有如下的取樣特性:
其中f(t)在t=0處是連續的。
在任意點的衝激表示為,它的取樣特性為:
。
對於離散變數x,單位離散衝激如下:
並滿足:
類似的,有取樣特性:
或者:
無限多個分離的週期衝激單元
下圖是一個衝激串:
傅立葉變換
傅立葉變換是空間域到頻率域的變換。
連續函式f(t)的傅立葉變換為:
給定可通過傅立葉反變換得到f(t),即:
上面兩式稱為傅立葉變換對。
求上圖“盒狀”函式f(t)的傅立葉變換:
最後一步根據 。另外最後一步是一個sinc函式:
sinc(0) = 1,對於m的其他所有整數,sinc(m) = 0。
傅立葉譜(頻譜)為:
和的曲線如下圖:
從圖中可以看出和的零值位置與“盒狀”函式f(t)的寬度W成反比。
前面提到的週期為的衝激串
的傅立葉變換為:
它仍是一個衝激串,週期變為1/
卷積
兩個函式的卷積用表示(定義):
卷積定理(與傅立葉變換的關係):
其中,分別是f(t),h(t)的傅立葉變換,表示左邊的式子通過傅立葉變換得到右邊的式子,右邊的式子通過傅立葉反變換得到左邊的式子。如:
取樣
取樣的方法是用一個週期為的衝激函串作為取樣函式去乘f(t)得到:
每個取樣值可通過積分得到:
取樣的傅立葉變換
取樣後的函式的傅立葉變換是:
其中是衝激串的傅立葉變換,即:
由卷積的定義可繼續得到:
最後一步根據衝激取樣特性。上式表明,取樣後的函式
下圖中,圖a是函式f(t)的傅立葉變換的簡圖,圖b~d是不同的1/對應的,分別是過取樣,臨界取樣和欠取樣:
如果能從包含的拷貝的週期序列中分離出的一個拷貝,那麼就可以從取樣後的版本復原f(t)。上圖中的欠取樣情況圖d,由於取樣率1/偏低,不能保持的完整性,就不能從中完全回覆f(t)。我們考慮臨界取樣的情況圖c,將其放大:
從圖中可以看出,要保持的完整性,拷貝間的距離要足夠,即要求,或:
這就是取樣定理:如果以超過函式最高頻率的兩倍的取樣率來獲取樣本,連續的帶限函式可以完全從它的樣本集恢復。
帶限函式:以原點為中心的有限區間(寬頻)[]之外的頻率值,其傅立葉變換為零的函式f(t)。如下圖:
以下圖過取樣的情況為例,來看如何從復原f(t):
圖b的函式由下式定義:
根據:
可通過下式得到:
再通過傅立葉反變換復原f(t):
稱上面的函式為低通濾波器,因為它通過頻率範圍低端的頻率,消除所有較高的頻率。
對於欠取樣的情況,容易看出無法通過低通濾波器得到一個完整的,而產生頻率混淆。
混淆總是存在,儘管原始函式可能是帶限的,但在實踐中,我們必須限制函式持續的時間,得到非帶限函式。例如,想把帶限函式f(t)限制在區間[0,T]內,可以讓f(t)乘如下函式實現:
得到的這個函式有如下的基本形狀:
通過前面介紹,“盒狀”函式的傅立葉變換具有無限擴充套件的頻率分量,如下圖:
可以看出,該函式不是帶限函式。事實上,沒有有限持續時間的函式是帶限的。所以,在實踐中,混淆是不可避免的,但可以通過平滑輸入函式減少高頻分量方法來降低混淆的影響,稱為抗混淆。
離散傅立葉變換(DFT)
為了得到離散傅立葉變換(DFT),我們對取樣後的函式進行傅立葉變換:
是週期為1/的無限週期連續函式,為了表徵一個週期,我們要對它的一個週期取樣。假設要在週期=0到=1/之間得到的M個等間距樣本,可以在如下頻率處得到:
把代入,並把結果記為,則:
上式就是離散傅立葉變換,對應的離散傅立葉反變換為:
在二維情況下,用x,y表示影象座標變數和u,v表示頻率變數更為直觀,我們將上面的離散傅立葉變換對改寫成如下形式:
上面的離散傅立葉正變換和反變換都是以M為週期的,即:
其中k是整數。
卷積的離散等價表示為:
其中,x=0,1,2,...,M-1。上式也是週期的,它給出了週期卷積的一個週期,通常稱為迴圈卷積。
二維
二維衝激及取樣
兩個連續變數t和z的衝激:
並且:
與一維情況類似,有如下取樣特性:
二維離散衝激:
取樣特性:
二維衝激串:
其中,和是連續函式f(t,z)沿t軸和z軸的樣本間的間隔,如下圖:
和一維的情況類似,用乘f(t,z)可得到取樣後的函式。
二維中的帶限函式:由區間和區間建立的矩形之外的傅立葉變換為0的函式f(t,z)。
取樣定理:如果滿足
則連續函式f(t,z)可由一組樣本無誤的恢復。
過取樣和欠取樣如下圖所示:
二維傅立葉變換
f(t,z)是連續函式,其二維傅立葉變換對如下:
求下圖二維函式的傅立葉變換:
和前面講到的一維“盒狀”函式類似:
它的傅立葉譜為:
與一維情況類似,零的位置與T和Z的值成反比,如下圖:
二維離散傅立葉變換
類似一維的推導,可以得到下面的二維離散傅立葉變換:
其中,f(x,y)是大小為M*N的影象。
對應的傅立葉反變換為:
二維離散傅立葉變換性質
1、平移和旋轉
上面的傅立葉變換對錶明,用指數項乘以f(x,y)將使DFT的原點移到點;反之,用負指數乘以F(u,v)將使f(x,y)的原點移到點.
使用極座標:
有下面的傅立葉變換對:
上式表明,若f(x,y)旋轉角度,則F(u,v)旋轉相同的角度。反之,若F(u,v)旋轉一個角度,f(x,y)也旋轉相同角度。
2、週期性
二維傅立葉變換及其反變換在u方向和v方向是無限週期的,即:
其中,是整數。
平移和週期性應用的例子:
考慮下圖的一維譜
在區間[0,M-1]中,變換資料由兩個在點M/2處背靠背半個週期組成,為了在該區間中有一個變換的完整週期,可以通過平移得到:
將F(0)移到位置。如果令 = M/2,則指數項變為,因為x是整數,故它等於,則:
平移後如下圖:
在二維情況下,原理是一樣的,如下圖所示:
把F(0,0)點移到(M/2,N/2)處,即令下式
中的,得到:
3、對稱性
任意實函式或虛擬函式w(x,y)都表示成一個奇數部分和一個偶數部分的和:
其中,偶數部分和奇數部分定義如下:
這裡,我們談論對稱(反對稱)時,我們指的是關於序列中點的對稱(反對稱),即一維陣列中心點右側為正,左側為負(二維情況類似)。於是,奇和偶的定義變為:
我們知道,兩個偶函式或兩個奇函式的積是偶函式,一個偶函式和一個奇函式的的積是奇函式,另外,離散函式是奇函式的唯一方法是其所有樣本的和為0。於是,有如下結論:
偶函式奇函式例子:
考慮一維序列
f = {f(0) f(1) f(2) f(3)} = {2 1 1 1}
其中M = 4,要檢驗偶性,需滿足f(x) = f(4-x),即:
f(0) = f(4),f(1)=f(3),f(2)=f(2),f(3)=f(1)
這裡f(4)在被考察範圍之外,所以f(0)對於偶函式的測試沒關係。
奇序列中,根據奇函式的定義,第一項永遠是0。考慮一維序列
g = {g(0) g(1) g(2) g(3)} = {0 -1 0 1}
序列中各項滿足g(x) = -g(4-x),所以是奇序列。
二維情況如下:
上圖是一個奇序列。
實函式f(x,y)的傅立葉變換是共軛對稱的,即:
證明如下:
第三步是因為f(x,y)是實函式。同理可以證明虛擬函式f(x,y)的傅立葉變換是共軛反對稱的:
下表列出離散傅立葉變換(DFT)的相關性質:
其中,R(u,v),I(u,v)分別代表F(u,v)的實部與虛部。一個複函式是偶函式意味著其實部和虛部都是偶函式,同樣,一個複函式是奇函式意味著其實部和虛部都是奇函式。
二維傅立葉譜和相角
二維DFT的極座標形式:
其中,|F(u,v)|稱為傅立葉譜(或頻譜):
稱為相角:
功率譜為:
|F(u,v)|,,P(u,v)都是大小為M*N的陣列。
根據前面提到的,實函式的傅立葉變化是共軛對稱的,可以得到
譜是關於原點偶對稱的:
|F(u,v)| = |F(-u,-v)|
相角關於原點奇對稱:
另外,容易得到如下結論:
其中,表示f的平均。上式表明零頻率項與f(x,y)的平均值成正比。從而有:
比例常數MN通常很大,|F(0,0)|通常是譜的最大分量,有時稱為變換的直流分量。
二維卷積定理
二維迴圈卷積:
上式給出了一個二維週期序列的一個週期。
二維卷積定理:
左右兩邊構成傅立葉變換對。
前面說過,離散傅立葉變換的表示式是有周期的。現在假如我們要求,即是求兩個周期函式的卷積,必須考慮他們的週期性。
兩個函式的卷積,可以看成是一個函式關於原點翻轉並完全滑過零一個函式,在滑動過程中的每一個位移處我麼執行計算。如下圖所示的f和w進行卷積:
假如我們要對各有400個點的函式f和h進行卷積,可以寫成:
包含以下過程:
- 關於原點求h的映象(即使h旋轉180°);
- 以數量x平移h函式;
- 對每個平移的x值,計算上式右邊全部乘積之和。
注:位移x的範圍要求h完全滑過f 所有值,這裡x的範圍是0到799。
上述過程可有下圖左邊的一列表示:
當f和h是周期函式時,他們的卷積過程就變成了上圖中右邊列的形式。可以看出,由於週期的存在,使他們互相干擾而導致所謂 纏繞錯誤,即圖j是不正確的。
解決纏繞問題的辦法就是把0新增到兩個函式中,使他們具有相同的長度,用P來表示,P滿足:
其中,A,B表示兩個函式分別具有A個樣本和B個樣本。
在上面的例子中,每個函式有400個點,則使用的最小值P = 799,我們要在每個函式的結尾新增399個0,稱為0填充。
類似的,在二維情況下也通過0填充來解決纏繞問題,令f(x,y)和h(x,y)分別是大小為A*B和C*D畫素的陣列,則需滿足:
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