題目描述

破了魔法陣後，亮亮進入了一座迷宮。這座迷宮叫做“夢境迷宮”，亮亮只有走出這座迷宮，才能從睡夢中醒來。

夢境迷宮可以用無向圖來表示。它共有 n 個點和 m 條雙向道路，每條道路都有邊權，表示通過這條道路所需的時間， 且每條道路可以多次經過。 亮亮位於一號點， 而出口則是 n 號點。原本，亮亮該找到一條最短路，快速衝出迷宮，然而，夢境迷宮的特殊之處在於，如果沿著最短路到達出口，亮亮就會永遠陷入夢境。因此，亮亮必須尋找一條次短路。次短路的長度須嚴格大於最短路（可以有多條）的長度，同時又不大於所有除最短路外的道路的長度。

你的任務，就是編寫一個程式，幫助亮亮找到通向出口的次短路。

分析

題意簡單來說就是求一個無向聯通帶權圖中1到n的嚴格次短路長度。這裡有兩種演算法。

第一種，用兩邊最短路，分別從1，n跑一遍，在列舉每條邊，讓1到n的路徑中必須包含這條邊，再與1到n的最短路作比較，並更新最優值。

第二種，用一遍Spfa，用兩個陣列dis，dis1分別記錄到這個點的最短路與次短路，在鬆弛的時候，先用最短路更新最短路，不行就用最短路更新次短路，然後再用次短路更新次短路。最後dis1[n]即為答案。

程式碼

第一種：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <queue>
using namespace std;
const int N=5005,M=100005;
struct Edge {
    int to,next;
    long long weight;
}e[M*2];
int n,m;
int h[N],cnt,k;
long long d[2][N],vis[N],ans;
void add(int x,int y,long long z) {
    e[++cnt]=(Edge){y,h[x],z};
    h[x]=cnt;
}
void spfa(int v0) {
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    queue<int> q;
    q.push(v0);
    vis[v0]=1;
    d[k][v0]=0;
    while (!q.empty()) {
        int x=q.front();
        q.pop();
        vis[x]=0;
        for (int i=h[x];i;i=e[i].next) {
            int y=e[i].to;
            if (d[k][x]+e[i].weight<d[k][y]) {
                d[k][y]=d[k][x]+e[i].weight;
                if (!vis[y]) {
                    vis[y]=1;
                    q.push(y);
                }
            }
        }
    }
    ++k;
}
int main() {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=m;i++) {
        int a,b;
        long long c;
        scanf("%d%d%lld",&a,&b,&c);
        add(a,b,c);
        add(b,a,c);
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
        d[0][i]=d[1][i]=(1ULL<<63)-1LL;
    spfa(1);
    spfa(n);
    ans=(1ULL<<63)-1LL;
    for (int i=1;i<=n;i++) {
        for (int j=h[i];j;j=e[j].next) {
            int y=e[j].to;
            long long p=d[0][i]+e[j].weight+d[1][y];
            if (p>d[0][n]) ans=min(ans,p);
        }
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}
 

第二種：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <queue>
using namespace std;
const int N=5005,M=100005;
struct Edge {
    int to,next;
    long long weight;
}e[M*2];
int n,m,vis[N];
int h[N],cnt;
long long d[2][N];
void add(int x,int y,long long z) {
    e[++cnt]=(Edge){y,h[x],z};
    h[x]=cnt;
}
void spfa() {
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for (int i=1;i<=n;i++) d[0][i]=d[1][i]=(1ULL<<62)-1;
    queue<int> q;
    q.push(1);
    vis[1]=1;
    d[0][1]=0;
    while (!q.empty()) {
        int x=q.front();
        q.pop();
        vis[x]=0;
        for (int i=h[x];i;i=e[i].next) {
            int y=e[i].to;
            if (d[0][x]+e[i].weight<d[0][y]) {
                d[1][y]=d[0][y];
                d[0][y]=d[0][x]+e[i].weight;
                if (!vis[y]) {
                    vis[y]=1;
                    q.push(y);
                }
            } else if (d[0][x]+e[i].weight>d[0][y]&&d[0][x]+e[i].weight<d[1][y]) {
                d[1][y]=d[0][x]+e[i].weight;
                if (!vis[y]) {
                    vis[y]=1;
                    q.push(y);
                }
            }
            if (d[1][x]+e[i].weight<d[1][y]) {
                d[1][y]=d[1][x]+e[i].weight;
                if (!vis[y]) {
                    vis[y]=1;
                    q.push(y);
                }
            }
        }
    }
}
int main() {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=m;i++) {
        int a,b;
        long long c;
        scanf("%d%d%lld",&a,&b,&c);
        add(a,b,c);
        add(b,a,c);
    }
    spfa();
    printf("%lld",d[1][n]);
    return 0;
}