方差為什麼用平方，而不是絕對值？
阿新 • • 發佈：2018-12-13
- 問題一：如果要從甲、乙兩名選手中選拔一名參加射擊比賽？你將設計什麼方案？
S：總分高的。
T：若有一名選手射擊5次，總分30；而另一名選手射擊10次，總分50分，你又會選擇誰？
S：看來還是算平均分合適。 - 問題二：你選擇誰？
甲：3、5、6、7、9
乙：4、5、6、7、8
從資料中，可以看出用平均數來選拔是不可取的。儘管平均環數相同，但二人的水平還是有差距的。讓學生充分研討，經過觀察分析資料，比較容易達成這樣的共識：甲最多9，最少3環，波動範圍較大，而乙最多8，最少4，波動範圍較小。因此乙較穩定，應該選拔乙。 - 問題三：極大值與極小值的差能分析準確嗎？
甲：3、5、6、7、9
丙：3、6、6、6、9
不難發現，雖然最多比最少差距相同，但丙比甲要穩定。同時還發現：在平均數相同的情況下，單純比較最大與最小兩個資料，不能夠說明一組資料的整體波動情況，每個資料都有決定權。那麼又如何反映一組資料的波動情況？
S：用各個資料減去它們的平均數，得到各個資料的偏差；再將各偏差相加。
經過一算：不難得出甲、乙、丙的偏差和都為0。到這一步，同學們會突然想到去掉偏差的負號問題。老師引導學生進行探索、分析，最後歸納出兩種方法。（1）先求各偏差的絕對值，再相加；（2）先求各偏差的平方，再相加。 - 問題四：算一算下列資料的偏差和。
甲：3、5、6、7、9
乙：4、5、6、7、8
丙：3、6、6、6、9
用方法一算得：甲：8；乙：6；丙：6（又如何比較乙、丙的穩定性呢？）
用方法二算得：甲：20；乙：10；丙：18（這種演算法算得，三者的穩定性都不一樣？也讓學生初步體會用平方而不用絕對值的目的就是將資料間的差距拉大） - 問題五：乙孤軍奮戰（求偏差平方和）：
第一階段：4、5、6、7、8
第二階段：4、5、6、7、8、4、5、6、7、8
第三階段：4、5、6、7、8、4、5、6、7、8、4、5、6、7、8
……
從上面的計算看出：單求偏差平方和，易因“資料越多而導致偏差平方和也越大”的結論，而實際上它們的穩定性應該是相同的。從而得出結論：只有求得“偏差的平方”的平均數才能真實地描述波動特徵。
兩年前，我認為，求方差不用絕對值而用平方是隻是一種規定；但，看了黃劍秋老師的教學設計後，讓我徹底明白，我的想法是錯的，規定也應該有規定的理由。現在展示的三組資料應該能讓穩定性表現的淋漓盡致，這是目前我對方差的理解。
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另標準差計算方法：
“標準差”(standard deviation)也稱“標準偏差”，它可以通過計算方差的算術平方根來求得。標準差表徵了各資料偏離平均值的距離，它反映出一個數據集的離散程度。
計算標準差的步驟通常有四步：
（1）計算平均值
（2）計算方差
（3）計算平均方差
（4）計算標準差
例如，對於一個有六個數的數集2,3,4,5,6,8，其標準差可通過以下步驟計算：
（1）計算平均值：
(2 + 3 + 4 + 5+ 6 + 8)/6 = 30 /6 = 5
（2）計算方差：
(2 – 5)^2 = (-3)^2= 9
(3 – 5)^2 = (-2)^2= 4
(4 – 5)^2 = (-1)^2= 0
(5 – 5)^2 = 0^2= 0
(6 – 5)^2 = 1^2= 1
(8 – 5)^2 = 3^2= 9
（3）計算平均方差：
(9 + 4 + 0 + 0+ 1 + 9)/6 = 24/6 = 4
（4）計算標準差：
√4 = 2