Ax=b

A為係數矩陣（三個平面的法向量），B(A|b)為增廣矩陣

1、r(A)=r(B)=3

方程組有唯一解，三平面交於一點。

2、r(A)=2，r(B)=3

方程組無解，由於ra=2，必有兩平面法向量不成比例，故必有兩平面相交；因此有兩種情況，一種是兩平面平行，分別與另一平面相交；另一種是三平面兩兩互異且相交。

3、r(A)=r(B)=2

方程組有無窮多解，三平面有無窮多交點。ra=2必有兩平面相交，rb=2至少有兩平面互異；也有兩種情況：三平面交於一條直線，或兩平面相交，另一平面與其中一個平面重合。

4、r(A)=1，r(B)=2

方程組無解，三平面不相交。ra=1代表三平面平行，rb=2代表至少有兩平面互異，因此有兩種情況：三平面互異且相互平行、三平面平行，兩平面重合。

5、r(A)=r(B)=1

無窮多解，三平面重合。