列空間與零空間： https://www.bilibili.com/video/av6240005/

MIT 求解Ax=b： https://open.163.com/movie/2010/11/V/8/M6V0BQC4M_M6V2ABHV8.html

秩可以理解為矩陣A列的線性組合所張成的空間維度數-列空間維度數

本課討論AX=b的解情況，根據教授的思路，A矩陣（m row X n col）經過化簡可得到以下幾種情況，A化簡成包含0行或F列的最簡形式，如果包含0行，說明b必須滿足某種條件才有解，如包含F列，說明有自由變數，則有無窮多個解。可總結得以下情況：

1、滿秩情況，r=n=m,化簡形式無0行，無F列，無0行則任意b可解，無F列則沒有多解，因此對任意b只有1個解。

這些向量就可以組合成Rn空間內任意的向量了，即無論b為何值一定有解，但由於必須要所有的向量共同組合才能到達整Rn空間任意座標點，所以每個向量的伸縮必須時特定的量，即x只有一組解。

2、對於行滿秩（fullrow rank），即r=m<n，即r=m<n,化簡形式無0行，有F列，則任意b可解，且有無窮多解。

即A中的部分向量伸縮組合就可以到達Rn空間的任意座標點。那麼這裡就存在著自由向量了，無論b取空間裡的什麼位置，你可以先隨意伸縮你的自由向量得到一個新向量，然後通過那部分可以完全到達Rn空間的向量與這個新向量一起進過特定的收縮得到向量b。只要自由向量的伸縮量改變那麼其它向量的收縮量也要跟著改變，那麼X就有無窮多組解。（用x的表達公式來描述就是你可以用A中部分向量（m個主元向量）伸縮組合得到b(此為特解）並且再通過m個主元向量與另外n-m個自由向量隨意組成0向量，就可以得到無窮多個x組了）

3、對於列滿秩（full columnrank），即r=n<m，即r=n < m,化簡形式有0行，無F列，則對特定的b（滿足0行條件方程）可解，且只有1個解，故為0解或1解。

當向量所佔維數等於向量的個數小於Rn空間的維數時，即A中的向量無論怎麼伸縮組合只達到Rn空間中的一個子空間。那麼當b在這個子空間時那麼A通過特定的伸縮可以到達這一座標點即X有一組解（這裡由於沒有自由向量所以沒有多解的情況，不要存在b只佔子空間部分維數留另外的給自由向量的想法，b在r的每個方向都有值，0也是值。就拿子空間為3維空間舉例，如果b只在xy平面內，Z仍然需要進行收縮，縮為0，不是自由的）。如果b沒在這一子空間內，那麼無論A中向量如何收縮都不能得到即無解（同樣拿三維舉例，如果A中的向量只在xy平面那麼如果b為（1 2 3）你如何收縮取得？）

4、r<m,r<n,化簡形式有0行，有F列，則對特定b有無窮解，故0解或無窮多解。

當向量所佔的維數小於向量的個數小於Rn空間的個數時，即A中的向量只能覆蓋Rn空間的一個子空間但在這子空間有自由向量，那麼如何b在這個子空間內那麼情況和第二點相同，X有無窮多組解；如果b在子空間之外，X無論如何收縮都不能達到，無解。