【數學】【數論】初探尤拉定理
阿新 • • 發佈：2018-12-16
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目錄
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| 在數論中，尤拉定理(也稱費馬-尤拉定理或尤拉函式定理)是一個關於同餘的性質 尤拉定理表明，若n，a為正整數，且n，a互質，則:
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(某一種證法)
將1~n中與n互質的數按順序排布：x1,x2……xφ(n) （顯然，共有φ(n)個數）
| 尤拉函式 在數論，對正整數n>1，尤拉函式是小於n的正整數中與n互質的數的數目(φ(1)=1)
(其中p1, p2……pn為x的所有質因數，x是不為0的整數) ——bia度百科
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我們考慮這麼一些數：
m1 == a*x1 m2 == a*x2 m3 == a*x3 …… mφ(n) == a*xφ(n)
1）這些數中的任意兩個都不模n同餘，因為如果有mS ≡ mR (MOD n) (這裡假定mS 更大一些)，就有：
mS - mR == a(xS - xR) == qn，即n能整除a(xS - xR)
但是a與n互質，而xS - xR<n，因而左式不可能被n整除
也就是說這些數中的任意兩個都不模n同餘，φ(n)個數有φ(n)種餘數
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- 簡化冪的模運算
如計算7222的個位數，實際是求7222被10除的餘數
7和10互素，且φ(10)=4
由尤拉定理知74 Ξ 1 (MOD 10)
所以7222 == (74)55 * (72) Ξ 155 * 72 Ξ 49 Ξ 9 (mod 10)
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